Argument (mathématiques)

Argument d'un nombre complexe

Cet article est un complément de nombre complexe.

Un argument d’un nombre complexe $z\;$ non nul d'image ponctuelle $M\;$ (dans le plan complexe) est une mesure $\theta\;$ (en radians) de l’angle :

$(\overrightarrow{Ox},\;\overrightarrow{OM})\equiv\theta\mod 2\pi$.

On a alors :

$z=\rho\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)=\rho e^{i\theta}=\left|z\right|\cdot e^{i\cdot\arg z}\;,$

où $\rho=\left|z\right|\;$ représente le module de $z\;$.

Souvent on note un argument du nombre complexe $z\;$ de façon simplifiée par :

$\arg z=\theta\;,$

ou plus précisément :

$\arg z \equiv\theta\mod 2\pi\;.$

Rappel :

• $\forall\theta\not\equiv\frac\pi 2\mod \pi,\ \tan\theta=\frac{\Im z}{\Re z}\;$ comme en coordonnées polaires et donc :
• $\tan\arg z=\frac{\Im z}{\Re z}=\frac{z-\bar z}{z+\bar z}\;,$ où $\bar z\;$ est le conjugué de $z\;$,
• si la partie réelle de z est strictement positive, $\arg z\equiv\arctan\frac{\Im z}{\Re z}\equiv\arctan\frac{z-\bar z}{z+\bar z}\mod 2\pi\;,$.

De manière plus générale, l'argument d'un nombre complexe peut être entièrement déterminée de la façon suivante :

• $\arg z=2\arctan \left(\frac{\Im z}{\Re z + \left|z\right|}\right)$, si z n'est pas un réel négatif, π sinon.

Propriétés :

• $\arg(z_1\cdot z_2)\equiv\arg z_1+\arg z_2\mod 2\pi\;,$ si $z_1\;$ et $z_2\;$ sont des complexes non nuls.
• $\arg(z^n)\equiv n\cdot\arg z\mod 2\pi\;,$ si $z\;$ est un complexe non nul et $n\;$ un naturel.
• $\arg\frac 1z\equiv-\arg z\mod 2\pi\;,$ si $z\;$ est un complexe non nul.

En particulier:

• $\arg(a\cdot z)\equiv\arg z\mod 2\pi\;,$ si $a\;$ est un réel strictement positif et $z\;$ un complexe non nul.
• $\arg(a\cdot z)\equiv\arg z+\pi\mod 2\pi\;,$ si $a\;$ est un réel strictement négatif et $z\;$ un complexe non nul.

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