Paquet d'onde

En physique, un paquet d'onde est une enveloppe ou un paquet contenant un nombre arbitraire de formes d'ondes. En mécanique quantique, le paquet d'onde possède une signification particulière : il est interprété comme étant une onde de probabilité qui décrit la probabilité pour une particule (ou des particules) dans un état donné d'avoir une position et une quantité de mouvement données.
En appliquant l'équation de Schrödinger en mécanique quantique, il est possible de déduire l'évolution temporelle d'un système, de manière similaire au formalisme hamiltonien en mécanique classique. Le paquet d'onde est une solution mathématique de l'équation de Schrödinger. Le carré de l'aire en dessous du paquet d'onde solution (intégrale quadratique) est interprétée comme étant la densité de probabilité de trouver une particule dans cette région.
Dans une représentation à coordonnées d'une onde (comme par exemple en coordonnées cartésiennes), la position de l'onde est donnée par la position du paquet. De plus, plus le paquet d'onde est petit, mieux est définie la position du paquet d'onde, mais plus l'incertitude sur la quantité de mouvement est grande. Cette particularité est connue sous le nom de principe d'incertitude de Heisenberg.

Bases

Au début des années 1900, il devient évident que la mécanique classique montraient des défaillances majeures. Isaac Newton proposa originellement l'idée que la lumière se déplaçait en paquets discrets appelés « corpuscules », mais le comportement ondulatoire de nombreux phénomènes lumineux conduisit les scientifiques à favoriser une description en termes d'ondes de l'électromagnétisme. Ce n'est que dans les années 1930 que la nature particulaire de la lumière commença réellement et largement à être acceptée en physique. Le développement de la mécanique quantique - et son succès dans l'explication de résultats expérimentaux qui pouvaient sembler paradoxaux - fut la base principale de cette acceptation.
Un des concepts les plus importants dans la formulation de la mécanique quantique est l'idée que la lumière se déplace en quantités discrètes appelées photons. L'énergique de la lumière est une fonction discrète de la fréquence :

E = nhf

L'énergie est le produit d'un entier n (d'où le terme de quantification), de la constante de Planck h et la fréquence f. Cette quantification permit la résolution d'un problème de la physique classique, appelé catastrophe ultraviolette.

Les idées de la mécanique quantique continuèrent à être développées tout au long du XXe siècle. L'image qui fut développée fut celle d'un monde particulaire, avec tous phénomènes et toute matière faits de et interagissant avec des particules discrètes. Cependant, ces particules sont décrites par une onde de probabilité. Les interactions, localisations, et toute la physique peuvent être réduits à des calculs de ces ondes d'amplitudes de probabilités. La nature particulaire du monde physique fut confirmée de manière expérimentale, alors que les phénomènes ondulatoires peuvent être caractérisés par la nature en paquets d'ondes des particules.

Mathématiques des paquets d'ondes

Considérons les ondes solutions de l'équation d'onde (ou équation de d'Alembert) suivante :

${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 { \nabla^2 u }$

où $\scriptstyle c$ est la vitesse de phase, c'est-à-dire la vitesse de propagation de l'onde dans un milieu donné.

L'équation d'onde possède comme solutions des ondes planes du type :

$u(\bold{x},t) = e^{i{(\bold{k\cdot x}}-\omega t)}$

où $\scriptstyle \omega$ est la pulsation de l’onde ($\scriptstyle \frac{\omega}{2\pi}$ étant sa fréquence) et $\scriptstyle \bold{k}$ est le vecteur d’onde, un vecteur perpendiculaire au plan d’onde. Le produit scalaire $\scriptstyle \bold{k\cdot x}$ est associé à la norme euclidienne notée $\scriptstyle |\bold{k}|$.

Afin de satisfaire l’équation, ces deux quantités sont liées par la relation de dispersion :

$\omega = c |\bold{k}|$.

La valeur complexe de $\scriptstyle u(\bold{x},t)$ est essentiellement un artifice visant la simplification des expressions et des traitements : pour décrire un phénomène physique à grandeur réelle, le résultat significatif est la partie réelle de $\scriptstyle u(\bold{x},t)$.

Un paquet d'ondes est une perturbation localisée résultant de la somme de différentes fonctions d'ondes. Si le paquet est très localisé, diverses fréquences sont nécessaires afin de permettre la superposition constructive de la région de la localisation et la superposition destructive hors de cette région.

Mise en évidence de paquets d'ondes

Considérons maintenant une superposition d’ondes ayant chacune un vecteur $\scriptstyle \bold{k}$, une pulsation $\scriptstyle \omega(\bold{k})$ et une amplitude $\scriptstyle A(\bold{k})$. L’onde résultante s’écrit alors

$u(x,t) = \int A(\bold{k}) e^{i(\bold{k\cdot x}-\omega(\bold{k})t)} \,d\bold{k}$

une quantité qui, par linéarité, satisfait encore l’équation d’onde. Cette relation englobe le cas d’une superposition d’un nombre fini d’ondes : dans ce cas, $\scriptstyle A(\bold{k})$ est non nul uniquement pour certaines valeurs de $\scriptstyle \bold{k}$ et l’intégrale devient une somme.

Supposons que les divers $\scriptstyle \bold{k}$ contributifs se situent dans le voisinage $\mathcal{V}$ d’un vecteur $\scriptstyle \bold{k}_0$ et considérons le développement de Talor au premier ordre :

$\omega(\bold{k}) = \omega(\bold{k}_0) + \nabla \omega (\bold{k}_0) \cdot (\bold{k} - \bold{k}_0)$

où $\scriptstyle \nabla \omega$ est le gradient, c'est-à-dire le vecteur des dérivées partielles de $\scriptstyle \omega$ par rapport aux composantes de $\scriptstyle \bold{k}$. Les imprécisions de cette relation sont d’autant plus faibles que les $\scriptstyle \bold{k}$ restent proches de $\scriptstyle \bold{k}_0$.

Par substitution, il découle

$u(\bold{x},t) = M(x,t) e^{i{(\bold{k_0 \cdot x}}-\omega(\bold{k}_0) t)}$

où

$M(x,t) = \int_\mathcal{V} A(\bold{k}) e^{i [(\bold{x} - t \nabla \omega (\bold{k}_0)) \cdot (\bold{k} - \bold{k}_0)]} \,d\bold{k}.$

Ainsi $\scriptstyle u(\bold{x},t)$ s’identifie à une onde de pulsation $\scriptstyle \omega(\bold{k}_0)$ qui est modulée par $\scriptstyle M(x,t)$.

Le paquet d’ondes est caractérisé par son enveloppe $\scriptstyle M(x,t)$ qui se déplace à la vitesse $\scriptstyle \bold{v}_0 = \nabla \omega (\bold{k}_0)$ (amplitude et direction) appelée vitesse de groupe : en effet, $\scriptstyle M(x,t)$ reste constant en tout point évoluant à cette vitesse.

Paquet d’ondes dans un milieu unidimensionnel et non dispersif.

Dans un milieu non dispersif (le vide par exemple), la vitesse de phase $\scriptstyle c$ ne dépend pas de la pulsation. Dans ce cas, la relation de dispersion $\scriptstyle \omega = c |\bold{k}|$ implique un gradient $\scriptstyle \bold{v}_0 = c \frac {\bold{k}_0}{|\bold{k}_0|},$ et ainsi $\scriptstyle |\bold{v}_0| = c$ : la vitesse de groupe est égale à la vitesse de phase. Dans un milieu unidimensionnel, le profil de l’onde subit une simple translation uniforme (il est figé s’il est vu d’un référentiel se déplaçant à vitesse $\scriptstyle \bold{v}_0$). L’animation correspond à une telle situation. Ce n’est plus le cas dans un milieu de dimension supérieure à cause des diverses directions des vecteurs d’onde $\scriptstyle \bold{k}$.

Dans un milieu dispersif par contre, la vitesse de phase d’une onde dépend de sa pulsation ($\scriptstyle c = c(\omega)$) : si $\scriptstyle c(\omega) > |\bold{v}_0|$, l’onde rattrape le paquet d’ondes.

Cette équation d’onde possède une solution simple et utile qui est en accord avec la statistique de Maxwell-Boltzmann :

$A(k) = A_0\exp(-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}|\bold{k} - \bold{k}_0|)$

où A_o et $\bold{k}_o$ sont constants.

Spectre d’un paquet d’ondes

Pour simplifier, supposons que les ondes se déplacent dans un espace à une dimension. Une solution élémentaire est de la forme suivante :

$u(x,t)= A e^{i(k x-\omega t)} + B e^{-i(k x+\omega t)} \,$

où le premier terme reflète une onde se déplaçant dans le sens des x croissants et le second correspondant au sens opposé.

La fonction générale d'un paquet d'ondes peut s’exprimer par :

$f(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{-\infty} A(k) e^{i(kx-\omega(k)t)} \,dk .$

Le facteur $\scriptstyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ provient des conventions utilisées pour les transformées de Fourier. L'amplitude A(k) contient les coefficients de la superposition linéaire des ondes planes solutions.

Ces coefficients peuvent alors s’exprimer comme fonctions de f(x,t) évaluées en t = 0 :

$A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{-\infty} f(x,0) e^{-ikx}\,dx.$

Référence

• John David Jackson, Électrodynamique classique [« trad. de (en)Classical Electrodynamics »] [détail de l’édition] 

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wave packet » (voir la liste des auteurs)