Parabole de surete

Parabole de sûreté

Soit un boulet B (lancé à une vitesse initiale Vo), tombant dans le vide, dans un champ de pesanteur uniforme g.

Sa trajectoire sera dans le plan vertical (O, Vo, g). Selon la célèbre loi de la chute libre énoncée en 1602 par Galilée (1568-1642), son mouvement ne dépend ni de sa masse, ni de sa densité.

Il est régi par la seule équation :

$\vec{OB} = \frac {1}{2}.\vec{g}.t^2+\vec{V_0}.t$ ,

qui est l'équation d'une parabole en coordonnées affines (de vecteurs de base g et Vo).

Pour un module Vo donné, quelle que soit la direction donnée à la « hausse » du canon, certains points seront hors de portée du canon. L'ensemble de ces points forme une région du plan limitée par une courbe (C) qui « entoure » le point O ; au-delà de (C), « on est en sûreté », d'où le nom de la courbe.

Dans le cas présent, (C) est une parabole, d'où le titre : parabole de sûreté :

En coordonnées polaires,d'origine O, d'axe origine, la verticale ascendante, soit en partant de l'apex H de la parabole, son équation est :

$OP = r = \frac {p}{(1 + cos \theta)}$ , avec $p = \frac{V_0^2}{g}$ (valeur de la portée horizontale).

Démonstration

Elle a été donnée par Galilée, améliorée par Torricelli, son élève (de 1640 à 1642). La voici :

Démonstration

Démonstration

L'essentiel tient dans la remarque intuitive (?) suivante :

pour atteindre sur une droite, inclinée de θ sur la verticale, la portée maximale,OP, il faut tirer selon la bissectrice. Ceci résulte du fait que la petite variation du vecteur Vo de module constant est PERPENPICULAIRE à Vo. Il en résultera que la tangente commune en P à la meilleure trajectoire ET à la courbe (C) sera perpendiculaire à Vo. (Evidemment, réciproquement, pour le point P , c'est O qui est la "portée maximale").Ceci une fois bien compris, le reste n'est que calcul géométrique.

Soit φ = angle (OH,Vo). Soit P le point de portée maximale,sur (C). Il faut démontrer que θ = 2φ, et que OP = p/2cos²φ, avec p/2 = OH.

or, OB = Vo.t -1/2 .g.t^2 = OR +RB.

Dessiner OQ = 1/2.g.t^2 = BR ;

alors V(t) = Vo- g.t = 1/t .(OR + 2.RB)== 1/t .QB.

Or quand OB est maximal, B est confondu avec le point "caractéristique" P , QB := QP ;

ET QP , "droite caractéristique ", doit être parallèle à la petite variation de Vo, donc perpendiculaire à Vo.

Alors, OPRQ est le losange de la figure de Torricelli, de côtés égaux OP=RP=RQ=OQ = 1/2 g.t^2, de centre I : la cote de I vaut z(I) = OH, pour toute direction ; et IP est perpendiculaire à OI.

P(t) décrit donc l'antipodaire de la droite parcourue par I, vue de l'origine O :CQFD [ou bien par le calcul, $OI = \frac {OH}{cos\phi}$ et $OP = \frac {OI}{cos\phi}$, soit $OP = \frac {OH}{cos^2 \phi}$, CQFD].

[REMARQUE : La démonstration géométrique de Newton, reprise dans Brousse (cours de mécanique rationnelle) est très proche de celle-ci. On peut lui préférer la démonstration algébrique de géométrie affine : soient pour directions d'axes la verticale et la droite inclinée OB = OB .u , et Vz + Vu = Vo, la décomposition de Vo sur ces axes. Alors OB(t) = (-1/2.g .t^2 + Vz .t) + Vu .t ; donc OB = 2VuVz/g à maximiser (compte-tenu de la contrainte Vo^2 =donnée). On en revient à un extremum de Didon et donc Vu = Vz : la vitesse initiale doit être choisie bissectrice, et puis retour au "losange" OPRQ ; la démonstration par "tanalpha" optimal est aussi très utilisée].

Note d'Histoire

Le père minime Mersenne (1588-1648) fut ébahi par une démonstration si simple, qui de plus assignait le foyer de la "meilleure" parabole à être sur la droite OP et à distance constante de O (donc égale à OH): "tout cette recherche est résumée en un demi-cercle" , écrira-t-il au jeune Huygens (1629-1695), alors jeune homme ( en 1642!), qui répondit immédiatement qu'il en était « fort bien ainsi ».

La clef du problème tient bien sûr dans le caractère losange du parallélogramme OPRQ, correctement énoncée par Torricelli : OP est maximum si Vo est bissectrice et elle l'est par caractère affine du problème : QP est bien perpendiculaire en I à OR !

Bien faire attention : ce sont alors des problèmes de théoriciens mathématiciens : on est bien loin de se préoccuper de la trajectoire réelle d'un boulet(bien mieux décrite par Tartaglia qui avait signalé l'existence d'une asymptote verticale en présence d'air)

En réalité, Torricelli est le premier à mettre la relativité galiléenne en acte : son idée ? Extrêmement simple, mais géniale : quelle que soit la position B1 du boulet B, à l'instant t1, avec la vitesse V1, il suffit de se placer dans le référentiel galiléen tangent pour retrouver une chute verticale B1B = 1/2 g (t-t1)^2. Ce sera pour la première fois sans doute le fameux dessin du « funiculaire à rochets » : le mobile poursuit sa course tangentielle , et retombe sur sa trajectoire, etc. Un peu avant , le mobile est en P1 ; un peu après en P2 ; et P1P2 tangent à la trajectoire est confondu avec QP. Cette figure étant apprise très jeune par Huygens, cela ne lui posera aucun problème de calculer ensuite l'accélération centripète du mouvement circulaire (encore qu'il préférât toujours parler de force centrifuge). Il y avait encore un pas à franchir : ce fut le fait de Newton.

Relativité galiléenne ?

Mais encore bien plus : Torricelli a-t-il pu traiter formellement le problème de covariance galiléenne suivant : soit une vitesse nulle au départ. Intuitivement le corps tombe verticalement : OB = k f(t). Appliquons maintenant le principe d'inertie et celui de relativité galiléenne et l'invariance temporelle et locale des lois : pour 2 temps t1 et t2, on doit avoir :

OB(t1+t2) = V°(t1+t2) + k f(t1+t2) = OB1 + V1.t2 + k f(t2), avec OB1 = V°.t1 +k f(t1) et V1 = V° +k f '(t1).

Soit f(t1+t2) = f(t1) + f(t2) + f '(t1).t2

Comme t1 et t2 sont commutatifs, f'(t1).t2 = f'(t2).t1 : donc f'(t)/t=cste ; la vitesse est nécessairement fonction linéaire du temps : f'(t) = g.t : dans un champ invariant par position, c’est-à-dire produisant en tout point initial, de vitesse nulle, le même mouvement, alors la relativité galiléenne impose la linéarité temporelle de la vitesse : V(t) = g.t .

voir aussi

• ellipse de sûreté
• Koyré : études galiléennes
• Koyré : étude sur le mouvement de chute des graves.
• Pour la relativité , voir Ch Villain : Huygens et la relativité.

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