Paradoxe de Borel

Le paradoxe de Borel (parfois appelé le paradoxe de Borel-Kolmogorov) est un paradoxe de la théorie des probabilités en rapport avec les probabilités conditionnelles et les densités de probabilité.

Supposons que nous ayons deux variables aléatoires, X et Y, de densité de probabilité conjointe p_X,Y(x,y). Nous pouvons former la densité conditionnelle de Y sachant X,

$p_{Y|X}(y|x) = \frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_{X}(x)}$

où p_X(x) est la loi marginale appropriée.

En utilisant le théorème du changement de variable, nous pouvons paramétrer la loi conjointe avec les fonctions U= f(X,Y), V = g(X,Y), et pouvons alors former la densité conditionnelle de V sachant U.

$p_{V|U}(v|u) = \frac{p_{V,U}(u,v)}{p_{U}(u)}$

Étant donné une condition particulière sur X et la condition équivalente sur U, l’intuition nous suggère que les densités conditionnelles p_Y|X(y|x) and p_V|U(v|u) devraient être identiques. Ce n’est pas le cas en général.

Un exemple concret

Une loi uniforme

Soit la densité de probabilité conjointe

$p_{X,Y}(x,y) =\left\{\begin{matrix} 1, & 0 < y < 1, \quad -y < x < 1 - y \\ 0, & \mbox{sinon} \end{matrix}\right.$

La densité marginale de X se calcule

$p_X(x) =\left\{\begin{matrix} 1+x, & -1 < x \le 0 \\ 1 - x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \mbox{sinon}\end{matrix}\right.$

Ainsi la densité conditionnelle de Y sachant X est

$p_{Y|X}(y|x) =\left\{\begin{matrix} \frac{1}{1+x}, & -1 < x \le 0, \quad -x < y < 1 \\ \\ \frac{1}{1-x}, & 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1 - x \\ \\ 0, & \mbox{sinon}\end{matrix}\right.$

qui est uniforme suivant y.

Nouveau paramétrage

Maintenant, appliquons la transformation suivante :

$U = \frac{X}{Y} + 1 \qquad \qquad V = Y.$

En utilisant le théorème du changement de variable, nous obtenons

$p_{U,V}(u,v) =\left\{\begin{matrix} v, & 0 < v < 1, \quad 0 < u \cdot v < 1 \\ 0, & \mbox{sinon} \end{matrix}\right.$

La distribution marginale se calcule et est égale à

$p_U(u) =\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}, & 0 < u \le 1 \\ \\ \frac {1}{2u^2}, & 1 < u < +\infty \\ \\ 0, & \mbox{sinon}\end{matrix}\right.$

Ainsi la densité conditionnelle de V sachant U est

$p_{V|U}(v|u) =\left\{\begin{matrix} 2v, & 0 < u \le 1, \quad 0 < v < 1 \\ 2u^2v, & 1 < u < +\infty, \quad 0 < v < \frac{1}{u} \\ 0, & \mbox{sinon}\end{matrix}\right.$

qui n’est pas uniforme suivant v.

Le résultat non intuitif

D'après ce qui précède, nous avons

$p_{Y|X}(y|x=0) = \left\{\begin{matrix} 1, & 0 < y < 1 \\ 0, & \mbox{sinon}\end{matrix}\right.$

La condition équivalente dans le système de coordonnées u-v est U = 1, et la densité conditionnelle de V sachant U = 1 est

$p_{V|U}(v|u=1) = \left\{\begin{matrix} 2v, & 0 < v < 1 \\ 0, & \mbox{sinon}\end{matrix}\right.$

Paradoxalement, V = Y et X = 0 est identique à U = 1, mais

$p_{Y|X}(y|x = 0) \ne p_{V|U}(v|u = 1).$

Voir aussi

• Émile Borel