Parité d'une fonction

En mathématiques, la parité d'une fonction d'une variable réelle, complexe ou vectorielle est une propriété qui requiert d'abord la symétrie du domaine de définition par rapport à l'origine, puis s'exprime par l'une ou l'autre des relations suivantes :

• fonction paire : pour tout x du domaine de définition, f (−x) = f (x) ;
• fonction impaire : pour tout x du domaine de définition, f (−x) = −f (x).

En analyse réelle, les fonctions paires sont les fonctions dont la courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, telles les fonctions constantes^[1], la fonction carré et plus généralement les fonctions puissance d'exposant pair, les fonctions cosinus et cosinus hyperbolique… Les fonctions impaires sont celles dont la courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine, telles les fonctions identité, cube et plus généralement les fonctions puissances d'exposant impair, les fonctions inverse, sinus, tangente, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique et leurs réciproques.

Les seules fonctions à être à la fois paires et impaires sont les fonctions nulles sur un domaine symétrique.

Une fonction quelconque n'est en général ni paire ni impaire, même si son domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine. Toute fonction définie sur un tel domaine s'écrit en revanche de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

La mise en évidence de la parité d'une fonction d'une variable réelle (qu'elle soit paire ou impaire) permet notamment de limiter son étude aux réels positifs.

Utilisation

La parité des fonctions sert, par exemple, à n'étudier les fonctions que sur la moitié de leur intervalle de définition, l'autre moitié étant déduite par symétrie. On remarquera qu'une fonction impaire, définie en 0, est nulle en ce point (en effet, puisque f est impaire, f( − x) = − f(x) pour tout x, et donc f(0) = − f(0); ainsi f(0) = 0. Cette définition de parité et d'imparité peut être également explicitée avec la notion de symétrisée d'une fonction : la fonction symétrisée d'une fonction s est la fonction š qui associe s(-x) à un x donné et, par exemple, s est paire si elle est égale à sa symétrisée.

Partie paire et partie impaire d'une fonction

Si E est un sous-ensemble de $\R$ symétrique par rapport à 0 (c'est-à-dire que si x appartient à E alors − x appartient à E), toute fonction $f : E\to\R$ peut se décomposer de façon unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

$f(x)=f_\text{p}(x) + f_\text{i}(x)\, ,$

où la fonction paire est

$f_\text{p}(x) = \tfrac12[f(x)+f(-x)]$

et la fonction impaire est

$f_\text{i}(x) = \tfrac12[f(x)-f(-x)]$

Par conséquent, on peut parler de la partie paire de f et de sa partie impaire. Par exemple, $x\mapsto e^x$ se décompose comme somme de $x\mapsto \cosh(x)= \tfrac{e^x + e^{-x}}{2}$ et de $x\mapsto\sinh(x)=\tfrac{e^x - e^{-x}}{2}$.

Démonstration

Soit E un sous-ensemble de $\R$ symétrique par rapport à 0 et $f : E\to\R$. On fait un raisonnement par analyse-synthèse.

Unicité

Supposons que f = g + h, où $g: E\to\R$ est une fonction paire et $h: E\to\R$ est une fonction impaire.

$\begin{align} \frac{f(x) + f(-x)}{2} &= \frac{g(x) +h(x) + g(-x) + h(-x)}{2} \\ & = \frac{g(x) + g(-x)+ h(x) + h(-x)}{2} \\ & = \frac{g(x) + g(x)+ h(x) - h(x)}{2} \\ &= g(x) \end{align}$

et de même, $\frac{f(x) - f(-x)}{2}= h(x)$. La décomposition de f, si elle existe, est donc unique.

Existence

Guidés par la preuve d'unicité, désignons par g et h les deux fonctions de E dans $\R$ définies par :

$\forall x \in E, g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$

$\forall x \in E, h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

On sait alors que g est paire car

$\forall x \in E, g(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = g(x)$

et également que h est impaire car

$\forall x \in E, h(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -h(x)$

De plus,

$g(x) + h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{2f(x) + f(-x) - f(-x)}{2} = f(x)$

On a donc f = g + h.

Il en résulte que le sous-espace vectoriel des fonctions paires et le sous-espace vectoriel des fonctions impaires sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de l'espace vectoriel des fonctions réelles.

Représentation graphique

Soit f une fonction définie sur E et (C_f) son graphe, dans un repère d'axes (Ox),(Oy).

• f est une fonction paire si et seulement si (C_f) est symétrique par rapport à l'axe (Oy), parallèlement à l'axe (Ox).
• f est une fonction impaire si et seulement si (C_f) est symétrique par rapport à l'origine O.

Mais une fonction dont la courbe représentative possède un axe ou un centre de symétrie n'est pas forcément paire ou impaire : il est nécessaire que le centre soit O ou l'axe soit (Oy).

Quelques propriétés

• La seule fonction qui soit à la fois paire et impaire est la fonction nulle (fonction constante égale à 0).
• En général, la somme d'une fonction paire et une fonction impaire n'est ni paire ni impaire ; ex : x + x².
• La somme de deux fonctions paires donne une fonction paire, et tout produit d'une fonction paire par une constante est paire.
• La somme de deux fonctions impaires donne une fonction impaire, et tout produit d'une fonction impaire par une constante est impaire.
• La parité suit, pour le produit ou le quotient, la "règle des signes" : tout produit ou quotient de deux fonctions paires est une fonction paire, tout produit ou quotient de deux fonctions impaires est aussi une fonction paire, tout produit ou quotient d'une fonction paire par une fonction impaire est une fonction impaire.
• La dérivée d'une fonction paire est une fonction impaire ; la dérivée d'une fonction impaire est une fonction paire.
• Une primitive d'une fonction impaire sur E n'est pas forcément paire, sauf si E est un intervalle.
• Une primitive d'une fonction paire sur E n'est pas forcément impaire, sauf si E est un intervalle et si de plus la primitive considérée est celle qui s'annule en 0.
• La composée de deux fonctions impaires est impaire ; la composée $g \circ f$ d'une fonction paire g avec une fonction impaire f est une fonction paire.
• La composée $g\circ f$ d'une fonction quelconque g avec une fonction paire f est une fonction paire.

Voir aussi

• Série de Taylor
• Série de Fourier

Notes et références

1. ↑ Une fonction constante est paire même si la valeur de cette constante est un nombre impair.