Arithmétique non standard

En logique mathématique, un modèle non standard de l'arithmétique est un modèle du premier ordre utilisant les axiomes de Peano qui contient les nombres non standards. Le modèle standard de l'arithmétique contient l'ensemble des nombres naturels {0, 1, 2, …}. Les éléments de chaque modèle de l'arithmétique de Peano sont ordonnés linéairement et possèdent un segment initial isomorphe aux nombres naturels standards. Un modèle non standard est un modèle qui contient des éléments en dehors de ce segment initial. Thoralf Skolem (1934)fut le premier à poser les bases de l'arithmétique non standard. En utilisant les axiomes de standardisation, transfert et idéalité tels que définis par Abraham Robinson, on définit les nombres hypernaturels, éléments du domaine $\N*$. Ces nombres hypernaturels sont standards s'ils appartiennent à $\N$ et non standards dans le cas contraire.

Existence

L'existence de modèles non standards de l'arithmétique peut être démontrée par l'application du théorème de compacité. Pour ce faire, on définit une théorie avec pour langage, le langage de l'arithmétique de Peano auquel on ajoute un nouveau symbole x. L'ensemble des axiomes de la nouvelle théorie contient les axiomes de l'arithmétique de Peano auxquels on ajoute un ensemble infini d'axiomes, à savoir les axiomes x > n, pour chaque naturel standard n. Chaque sous-ensemble fini de ces axiomes est valide dans le modèle standard de l'arithmétique et donc par le théorème de compacité il y a un modèle satisfaisant tous ces axiomes, mais l'élément de ce modèle correspondant à x ne peut pas être un entier naturel standard.

En utilisant des méthodes plus complexes, il est possible de construire des modèles non standard qui possèdent des propriétés plus compliquées. Par exemple, il existe des modèles de l'arithmétique de Peano dans lesquels le théorème de Goodstein n'est pas satisfait, ce qui démontre qu'il ne peut pas être démontré dans l'arithmétique du premier ordre. En revanche, il peut être démontré dans l'arithmétique du second ordre.

Modèles dénombrables

On peut montrer que tout modèle non standard dénombrable de l'arithmétique possède une structure d'ordre isomorphe à celle de $\N\sqcup(\Q\times\Z)$, c'est-à-dire que les entiers standard sont en premier, et sont suivis d'une répartition dense de « paquets » d'entiers non standards consécutifs isomorphes à $\Z$.

On peut en effet définir la relation d'équivalence sur les entiers non standards par a équivalent à b si et seulement si a et b diffèrent d'un entier standard. On vérifie facilement qu'il s'agit d'une relation d'équivalence, que les classes d'équivalences sont isomorphes à $\Z$ (en tant qu'ensembles ordonnés), et que la relation d'ordre sur les entiers du modèle passe au quotient. On montre alors que l'ensemble quotient est un ensemble ordonné sans plus grand ni plus petit élément, et dont l'ordre est dense, et comme il est dénombrable, il est isomorphe à $\Q$

Galaxie d'un hypernaturel

On appelle galaxie d'un nombre hypernaturel l'ensemble des nombres hypernaturels dont la distance ou la différence entière est naturelle :

$\forall x\in\N*,G_{x}=\{y\in\N*,|x-y|\in\N\}$

Article connexe

Analyse non standard

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Non-standard model of arithmetic » (voir la liste des auteurs)

Bibliographie

Skolem, Th. (1934) Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschliesslich Zahlenvariablen. Fundam. Math. 23, 150-161.