Plus grand commun diviseur

Pour une introduction à cette notion, consulter l'article : PGCD de nombres entiers.

En arithmétique élémentaire, le plus grand commun diviseur, abrégé en général PGCD, de deux nombres entiers naturels est le plus grand entier naturel qui divise simultanément ces deux entiers.

Par exemple le PGCD de 42 et 56 est 14. En effet, $\scriptstyle {42 \over 14}=3$, $\scriptstyle {56 \over 14 } = 4$ et 3 et 4 sont premiers entre eux (ils n'ont comme diviseur entier commun que 1).

On peut étendre cette notion, tout d'abord aux entiers relatifs, 0 compris, mais aussi aux nombres rationnels, voire aux réels. On pose même des définitions s'appliquant pour n'importe quel anneau, en distinguant les propriétés valables pour tous les anneaux et celles valables pour des anneaux de types particuliers.

De plus, on peut également considérer le PGCD d'un nombre arbitraire d'éléments^[Quoi ?], et dans certains cas d'une infinité.

Dénomination

L'élément dont nous parlons est le plus grand diviseur commun de a et b. On pourrait s'attendre à le voir appelé le plus grand diviseur commun, abrégé "PGDC" et non le plus grand commun diviseur. Mais le nom est assez ancien, et en ancien français^{[réf. souhaitée]} il était plus normal de dire "commun diviseur" que "diviseur commun" et l'on retrouve plus souvent l'appellation PGCD.

Notations

Le PGCD de deux entiers a et b est souvent noté : PGCD(a,b) ou pgcd(a,b). De même, le pgcd d'une séquence d'entiers a_i sera notée pgcd(a_i) ou PGCD(a_i).

Certains auteurs notent le pgcd de deux entiers a et b sous la forme $a \wedge b$. Cette notation fait référence aux ensembles ordonnés : tout diviseur commun à a et b divise leur pgcd (voir ci-dessous).

Les anglophones le nomment greatest common divisor, noté : gcd(a,b).

Définitions

Pour des entiers

Étant donnée une séquence finie ou infinie a_i d'entiers qui ne sont pas tous nuls, l'ensemble des diviseurs communs des termes de la séquence est une partie finie et non vide de N

Finie, car un diviseur d'un entier non nul a est borné par |a| ;

Non vide car contient 1, entier qui divise tous les entiers.

Cet ensemble admet donc un élément maximal d, appelé le pgcd de la séquence a_i considérée.

Par exemple, les diviseurs communs de 36, 48 et 60 sont 1, 3, 4 et 12. Le pgcd de 36, 48 et 60 est donc 12.

Rappelons qu'un entier n s'écrit de manière unique à l'ordre près des facteurs et au signe près comme un produit fini de nombres premiers. Le nombre de fois que l'entier premier p apparait dans cette écriture s'appelle la valuation p-adique de n, notée v_p(n). Un entier m divise un entier n si et seulement si pour tout p $v_p(m)\leq v_p(n)$.

De fait, le pgcd d'une séquence a_i est donnée par :

$pgcd(a_i)=\prod_p p^{\min v_p(a_i)}$

où le produit portent sur l'ensemble des nombres premiers (presque tous les termes du produit, hormis une quantité finie, sont égaux à 1).

Tout diviseur commun à une séquence d'entiers relatifs, non tous nuls, divise leur pgcd. Ce constat résulte immédiatement de l'écriture ci-dessus en produit de nombres premiers. Le pgcd apparait de fait comme l'élément maximal de l'ensemble des diviseurs communs, maximal au sens de la division (avec son opposé : certains préfèrent même préciser "le PGCD positif", cependant quand on parle des entiers, si on demande le PGCD, il est évident qu'on parle du PGCD positif).

Quelques précisions sur « plus grand »

Usuellement, pour des nombres entiers, on considère uniquement des PGCD positifs et la notion de « plus grand » correspond bien à la notion d'ordre usuelle pour les nombres. Pour d'autres cas, le « plus grand » de PGCD ne correspond pas forcément à la relation d'ordre habituelle mais au fait que tout diviseur commun de a et de b divise PGCD(a,b). Le ou les PGCD de a et de b sont donc les plus grands éléments de l'ensemble des diviseurs de a et de b au sens de la relation de divisibilité, et donc -3 et 3 sont tous deux des PGCD de 6 et de 9. Cette façon de voir les choses est utile pour définir le PGCD, pour des polynômes par exemple, ou pour le PGCD de nombres rationnels. Dans le cas des polynômes, le PGCD est le diviseur de plus haut degré. Pour le cas de nombres entiers, on préfère en général prendre le PGCD positif, ce qui permet de faire en sorte qu'il soit bien le plus grand au sens normal du terme. Et même, on ne précise pas qu'on souhaite le PGCD positif quand on désigne le PGCD comme unique.

Évidemment, celui des deux pgcd qui est positif est également le plus grand diviseur au sens de la relation d'ordre « supérieur ou inférieur », mais ce n'est vrai que pour le cas des nombres (le PGCD s'étend à d'autres objets mathématiques). Et encore, le cas de PGCD(0,0), que nous examinerons plus loin, contredit cette assertion.

Rappelons que le D de PGCD signifie toujours diviseur et non dénominateur. Lors de la réduction de fractions au même dénominateur, on peut être amené à chercher le plus petit commun dénominateur qui est en fait le PPCM des dénominateurs. L'emploi de cette expression n'est pas une erreur, c'est un cas particulier d'emploi du PPCM. L'expression "Plus grand commun dénominateur" est en revanche erronée.

Cas du zéro

Certaines définitions du PGCD autorisent le calcul du PGCD d'un entier quelconque avec 0. Pour tout n entier, pgcd(0,n) = n.

Cette propriété reste vraie pour n=0.

Donc pgcd(0,0)=0 (c'est la réponse donnée par les calculatrices : elle ne peut se justifier par la définition du PGCD du premier paragraphe).

Ce n'est pas une simple convention, mais la conséquence de la définition formelle du PGCD.

En effet, ce résultat devient évident quand on adopte la #Définition par les idéaux (a) + (b) = (pgcd(a,b)) ("(a)" signifiant "idéal engendré par l'élément a") comme définition du PGCD, ce qui se fait sans problème si on travaille sur les nombres entiers, puisque leur ensemble est un anneau principal.

Il s'agit d'ailleurs du seul cas pour lequel il n'y a pas à choisir entre un PGCD positif et un négatif.

Exemple

On cherche le PGCD de 15 et 12.

Les diviseurs positifs de 15 sont : 1, 3, 5, 15.

Les diviseurs positifs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12.

On obtient donc d_12,15 = {1,3}

On en déduit pgcd(12, 15) = 3.

Pour trouver le PGCD de deux nombres plus grands, on peut utiliser l'algorithme d'Euclide

Calcul du pgcd de deux entiers a et b

Il existe plusieurs méthodes, chacune plus ou moins adaptée à certaines situations. La plupart des méthodes comportent plusieurs étapes qui consistent à passer du calcul d'un pgcd à celui d'un autre pgcd avec des nombres "plus simples". En général, on s'arrête lorsque l'un des nombres est premier ou lorsque l'un des nombres est multiple de l'autre, car dans ces cas le calcul du pgcd est très simple.

Méthode "devinette"

Cette méthode est particulièrement adaptée pour les petits nombres ou les nombres qui ont beaucoup de diviseurs faciles à trouver (2, 3, 5, 11). Elle consiste à simplifier le calcul en utilisant des diviseurs communs de a et b que l'on voit. En effet, si a et b ont de façon visible un facteur commun k, c'est-à-dire que l'on peut écrire a = ka′ et b = kb′. Alors, il suffit de calculer le pgcd de a′ et b′ car on a

$\mathrm{pgcd}\left( a,b\right) =\mathrm{pgcd}\left( ka^{\prime },kb^{\prime }\right) =k\mathrm{pgcd}\left( a^{\prime },b^{\prime }\right) .$

Exemple : pgcd(60,84). On voit que 60 et 84 sont multiples de 4 donc

$\mathrm{pgcd}\left( 60,84\right) =4\times \mathrm{pgcd}\left( 15,21\right) .$

Ensuite, comme 15 et 21 sont multiples de 3 on a

$\mathrm{pgcd}\left( 15,21\right) =3\times \mathrm{pgcd}\left( 5,7\right) .$

Or, $\mathrm{pgcd}\left( 5,7\right)=1.$ Donc, $\mathrm{pgcd}\left( 60,84\right) =4\times 3=12.$

Méthode soustractive

Méthode particulièrement adaptée pour les nombres grands mais relativement proches. Supposons que a soit plus grand que b on a

$\mathrm{pgcd}\left( a,b\right) =\mathrm{pgcd}\left( a-b,b\right)$

En effet, si a et b sont multiples de d alors a - b également. Réciproquement, si d divise b et a - b il divise également (a - b) + b = a.

Exemple : $\mathrm{pgcd}\left( 675,660\right) =\mathrm{pgcd}\left( 660,15\right) =15$ car 660 est multiple de 15.

Algorithme d'Euclide

Cette méthode marche dans tous les cas et est donc particulièrement adaptée lorsque l'on n'est pas dans un cas où l'une des méthodes précédentes est rapide. C'est un raffinement de la méthode soustractive. Voir l'article détaillé : algorithme d'Euclide.

Avec la décomposition en facteurs premiers

Cette méthode n'est à utiliser que si l'on a déjà factorisé a et b en produit de nombres premiers.

Si $a=p_{1}^{\alpha _{1}}\times p_{2}^{\alpha _{2}}\times \cdots \times p_{k}^{\alpha _{k}}$ et $b=p_{1}^{\beta _{1}}\times p_{2}^{\beta _{2}}\times \cdots \times p_{k}^{\beta _{k}}$ où tous les exposants vérifient $\alpha _{i}\geq 0$ et $\beta _{i}\geq 0$ alors

$\mathrm{pgcd}\left( a,b\right) =p_{1}^{\min \left( \alpha _{1},\beta _{1}\right) }\times p_{2}^{\min \left( \alpha _{2},\beta _{2}\right) }\times \cdots \times p_{k}^{\min \left( \alpha _{k},\beta _{k}\right) }$

$\text{Exemple : } 1248=2^{5}\times 3\times 13 \text{ et } 264= 2^{3}\times 3\times 11 \text{ donc } \mathrm{pgcd}\left( 1248,264\right) =2^{3}\times 3=24.$

Remarque : Si cette méthode semble attrayante car familière, il faut bien avoir en tête que la factorisation de a et b est en général beaucoup plus longue et difficile que le calcul de leur pgcd ! UNIQ2e70790f5ff03a04-math-00000016-QINU

Propriétés

Soit $(a,b,c)\in{\mathbb{Z}^*}^3$

• $\operatorname{pgcd}(a,b)|a \land \operatorname{pgcd}(a,b)|b$
• $c|a \land c|b \Leftrightarrow c|\operatorname{pgcd}(a,b)$
• $\operatorname{pgcd}(ac,bc) = |c|\operatorname{pgcd}(a,b)$
• $\operatorname{pgcd}(a,b)=\min\left(\left\{au+bv / (u,v)\in\mathbb{Z}^2\right\} \cap \mathbb N ^*\right)$
• $\operatorname{pgcd}(a,b) = \operatorname{pgcd}(a+cb,b)$
• $\operatorname{pgcd}(a,b) \operatorname{ppcm}(a,b) = |ab|$
• $\operatorname{pgcd}(a,\operatorname{ppcm}(b,c)) = \operatorname{ppcm}(\operatorname{pgcd}(a,b),\operatorname{pgcd}(a,c))$
• $\operatorname{ppcm}(a,\operatorname{pgcd}(b,c)) = \operatorname{pgcd}(\operatorname{ppcm}(a,b),\operatorname{ppcm}(a,c))$
• $\operatorname{pgcd}(a,b,c) = \operatorname{pgcd}(\operatorname{pgcd}(a,b),c) = \operatorname{pgcd}(a,\operatorname{pgcd}(b,c))$, on peut étendre à un nombre arbitraire d'éléments
• Géométriquement, pgcd(a,b) est le nombre de points de coordonnées entières sur le segment d'extrémités des points (0,0) et (a,b), sans compter (0,0).

Généralisations

PGCD de fractions

Dans ce paragraphe, on utilise la définition suivante: d est un pgcd de a et b si d divise a et b et d est divisible par tout élément divisant a et b. (paragraphe 2)

Premier point de vue: c'est le plus évident: on se place dans le corps $\mathbb Q$ des rationnels. Alors pour p1/q1 et q2/p2 deux rationnels non tous deux nuls, tout rationnel non nul est un PGCD de p1/q1 et q2/p2 (Q étant un corps, tout rationnel autre que 0 divise 1, et 1 divise tout rationnel). Par convention, on choisit 1 comme PGCD. Dans le cas où les deux fractions sont nulles, le PGCD vaut encore 0.

Note: on montre que A est un corps si et seulement si A est un anneau unitaire dont les seuls idéaux sont {0} et A. On comprend facilement, avec la définition du paragraphe 2.1, que deux éléments non tous deux nuls de A admettent n'importe quel élément non nul de A comme PGCD, et on choisit 1 (le neutre de la seconde loi) par convention. La notion de PGCD n'a donc pas beaucoup d'intérêt dans un corps!

Deuxième point de vue: il consiste à considèrer qu'une fraction p/q en divise une autre p'/q' non pas s'il existe une fraction a/b telle que p/q*a/b=p'/q' (toujours vrai si p ne vaut pas 0: prendre a=q*p' et b=p*q') mais seulement s'il existe un entier c tel que p/q*c=p'/q'.

De façon analogue au paragraphe sur les idéaux, un pgcd de p1/q1 et q2/p2 est une fraction p/q telle que $p1/q1*\mathbb Z+p2/q2*\mathbb Z=p/q*\mathbb Z$. Mais attention, les objets manipulés ici ne sont pas des idéaux, ni des pseudo sous-anneaux de Q, seulement des sous-groupes.

Finalement, on trouve p=+/- pgcd(p1,p2) et q=ppcm(q1,q2).

De même, on a ppcm(p1/q1,p2/q2)= +/- ppcm(p1,p2)/pgcd(q1,q2)

Le PGCD obtenu suivant le deuxième point de vue est également un PGCD possible quand on se place sur le corps Q. Les calculatrices et les logiciels de calcul choisissent l'un ou l'autre suivant le choix des programmeurs (par exemple Maple adopte le premier point de vue, la Casio Graph 100+ et la TI-92 le second).

Un inconvénient du second point de vue est que le PGCD d'une famille infinie de rationnels n'existe pas toujours. Par exemple la famille des fractions 1/n, n allant de 1 à l'infini parmi les entiers, n'admet pas de PGCD.

Cas des réels

On peut encore étendre les définitions précédentes avec des nombres réels: le premier point de vue conduit à un PGCD de 1 pour tout couple de réels non tous deux nuls.

Le second point de vue dit que pour deux réels quelconques a et b, s'il existe un réel c tel que a=u*c et b=v*c avec u et v rationnels, on choisit PGCD(a,b)=|c|*PGCD(u,v), suivant la définition des PGCD de rationnels vue ci-dessus (2e point de vue).

Pour deux réels a et b tels que a/b soit irrationnel (si b=0 on est dans la situation précédente) on est obligé de revenir au premier point de vue d'où PGCD(Pi,$\sqrt[]{2}$)=1; à noter que le PPCM le même problème, mais il est déterminé par PGCD(a,b)*PPCM(a,b)=|a*b|. (PPCM(Pi,$\sqrt[]{2}$)=Pi*$\sqrt[]{2}$)

Chaque calculateur se plaçant dans la continuité de son comportement concernant les rationnels, Maple répond suivant le premier point de vue, la Casio Graph 100+ selon le second ; la Ti-92 n'a pas de réponse.

Polynômes à coefficients réels

Le PGCD dans l'anneau $\mathbb R[X]$ vérifie la définition donnée plus haut. Mais cette fois il y a une infinité de PGCD possibles pour 2 polynômes : en effet tout PGCD des polynômes A et B multiplié par un réel non nul est aussi un PGCD de A et B. Pour définir un PGCD unique il y a deux conventions possibles: ou bien on pose par convention que le PGCD doit être un polynôme unitaire, ou bien on choisit le polynôme dont le coefficient dominant est le PGCD des coefficients dominants de A et B, en employant la définition du paragraphe précédent pour les PGCD de réels.

À titre d'exemple, le logiciel (propriétaire) de calcul formel Maple choisit la première option quand les polynômes sont à coefficients entiers, la seconde sinon, tandis que les calculatrices Casio optent toujours pour la seconde convention.

Si l'on ne dispose pas de moyen automatisé (logiciel ou calculatrice), on peut toujours trouver « manuellement » le PGCD de 2 polynômes en transposant pour ces polynômes l'algorithme d'Euclide servant à trouver le PGCD de deux nombres entiers (voir ici comment on peut effectuer la division de 2 polynômes).

Dans les anneaux commutatifs

Par extension, le plus grand commun diviseur peut être défini plus généralement pour les éléments d'un anneau commutatif arbitraire, pas forcément unitaire (certains diraient: pseudo-anneau). Le plus grand commun diviseur d'une famille a_i d'éléments de A non tous nuls est le plus grand diviseur commun aux a_i au sens de la division.

L'existence d'un tel élément (tout comme du PPCM) est certaine dans un anneau factoriel, pas toujours dans d'autres anneaux.

Par exemple, dans l'anneau $Z[i\sqrt[]{3}]$, 4 et $2+2i\sqrt[]{3}$ admettent 2 et $1+i\sqrt[]{3}$ comme diviseurs, mais aucun élément divisible simultanément par 2 et $1+i\sqrt[]{3}$ ne les divise.

Le PGCD de a et b n'est pas toujours unique, mais si A est intègre alors deux quelconques PGCD de a et b sont des éléments associés.

Dans le pseudo-anneau 2 * Z / 20Z, [8] et [12] admettent comme pgcd possibles [4], [8], [12], [16] ([2]*[4]=[8], [4]*[8]=[32]=[12], [8]*[12]=[96]=[16], [4]*[16]=[64]=[4]), qui ne sont pas associés.

Dans un anneau principal, il existe c et d éléments de A (non uniques) tels que ac + bd = pgcd(a,b) (théorème de Bachet-Bézout)

Si A est un anneau euclidien alors une forme de l'algorithme d'Euclide peut être utilisée pour calculer le PGCD.

L'unicité peut dans certains cas être rétablie en posant une contrainte supplémentaire. Par exemple dans l'anneau des polynômes à coefficients complexes, le PGCD est unique si on exige qu'il soit un polynôme unitaire.

D'ailleurs dans le cas des nombres entiers, l'unicité du PGCD est obtenue avec la convention "le PGCD est un nombre positif". Sans cette convention, la définition ci-dessus donne deux PGCD distincts, opposés.

Tout ce qui précède se généralise à un nombre arbitraire ou même infini d'éléments, sauf l'algorithme d'Euclide.

Définition par les idéaux

La définition de ce paragraphe est un peu plus générale que celle du paragraphe précédent, et permet de définir des PGCD dans des cas où ils ne pourraient l'être suivant la définition précédente.

Dans l'anneau commutatif A, on note (x) l'idéal principal engendré par l'élément x, ie l'intersection de tous les idéaux de A contenant x, (l'ensemble des éléments xy, y décrivant A si A est unitaire).

Pour a et b éléments de A, (a)+(b) est également un idéal.

Alors d est un pgcd de a et b ssi (d) est le plus petit idéal engendré par un seul élément et incluant (a)+(b), ie (a)+(b) ⊂(d) et pour tout x ⊂ A, (a)+(b) ⊂ (x) (ce qui équivaut à "x est un diviseur de a et b" si A est unitaire) ⇒ (d) ⊂ (x) (ce qui équivaut à "x est un diviseur de d" si A est unitaire).

Dans le pseudo-anneau (anneau non unitaire) 2Z, 8 et 12 ont pour PGCD possibles 4 et -4… En effet, (8)+(12) ⊂ (4) = (-4) = 4Z, et pourtant il n'existe pas dans 2Z d'élément x tel que 4*x=12.

Dans un anneau principal, ce qui précède équivaut à (a)+(b) = (d)

Comme plus haut, il n'y a pas unicité du pgcd.

Ici encore, on peut étendre à un nombre arbitraire voire infini d'éléments.

Anneaux non-commutatifs

Dans un anneau non-commutatif, un élément peut admettre des "diviseurs à droite" et des "diviseurs à gauche". On peut dans certain cas définir un PGCD à droite et/ou un PGCD à gauche. Mais l'existence de l'un n'implique pas forcément celle de l'autre, et l'existence commune n'implique pas forcément l'égalité.

Demander à un calculateur électronique le PGCD de deux matrices n'est pas forcément interprété au sens de l'algèbre linéaire. Par exemple une TI-92 interrogée sur le PGCD de deux matrices de même taille répond en donnant la matrice composée des PGCD des éléments de même position des deux matrices.

Voir aussi

• Algorithme d'Euclide
• Livre VII des Éléments d'Euclide
• Nombres premiers entre eux
• Plus petit commun multiple

Liens externes

• (fr) Outil en ligne calculant le PGCD de deux nombres
• (fr) Paragraphe 3.3: utilisation des PGCD dans un anneau non-commutatif