Point a l'infini

Point à l'infini

En mathématiques, dans le sous-domaine de la géométrie projective, le point à l'infini est un point qui peut être ajouté à un corps.

Nombres réels

Lorsque le point à l'infini est ajouté à la droite des nombres réels, celle-ci forme une courbe fermée, appelée la droite projective réelle, $\mathbb P^1(\mathbb{R})$.

Considérons maintenant deux droites parallèles dans le plan projectif $\mathbb P^2(\mathbb{R})$. Puisque les deux droites sont parallèles, elles se croisent en un point à l'infini. Celui-ci se trouve sur la droite à l'infini dans $\mathbb P^2(\mathbb{R})$.

De plus, chaque droite est, dans $\mathbb P^2(\mathbb{R})$, une droite projective : chacune à son propre point à l'infini. Deux droites d'un espace affine sont parallèles si et seulement si elles ont le même point à l'infini.

Nombres complexes

Le point à l'infini peut aussi être ajouté au plan complexe $\mathbb C^1$ afin d'obtenir la droite projective complexe, c'est-à-dire la sphère de Riemann. On peut concevoir ceci en imaginant d'abord le procédé inverse: soit une sphère que l'on perfore. Le trou résultant forme une arête que l'on étire vers l'infini. Ceci forme le plan complexe. En inversant ce procédé, on transforme le plan complexe en droite projective complexe $\mathbb P^1(\mathbb{C})$: le trou est "déperforé" en ajouant le point à l'infini, qui est équivalent à chacun des points sur l'arête qui formait les bords du trou.

Voir aussi

• Droite à l'infini
• Hyperplan de l'infini (plan de l'infini)

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