Point de Lebesgue

En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, un point x du domaine de définition d'une application $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ lebesgue-intégrable est appelé point de Lebesgue lorsque f varie "très peu" au voisinage de x ou de manière plus générale si les moyennes des applications $t\mapsto|f(t)-f(x)|$ sur les boules centrées sur x sont "très petites".

Définition

Plus précisément et de manière formelle x est un point de Lebesgue de $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ si

$\lim_{r\rightarrow 0^+}\frac{1}{\lambda\left(B\left(x,r\right)\right)}\int_{B(x,r)} |f(t)-f(x)|\mathrm{d}\lambda(t)=0;$

où $B\left(x,r\right)$ désigne la boule de $\mathbb{R}^n$ centrée en x et de rayon r > 0 et λ désigne la mesure de Lebesgue.

Un théorème

Le théorème de différentiation de Lebesgue affirme que si $f\in L^1(\mathbb{R})$ alors presque tous les points de $\mathbb{R}$ sont des points de Lebesgue. Autrement dit l'ensemble des points $x\in\mathbb{R}$ qui ne sont pas des points de Lebesgue est négligeable.

Application

Une application directe du théorème précédent est la première partie du théorème fondamental de l'analyse :

Si $f\in L^1\left(\mathbb{R}\right)$ et $F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)d\lambda(t)$ alors F est dérivable en tout point de Lebesgue de f et $F^\prime(x)=f(x)$ en tout point de Lebesgue de f donc presque partout.

Référence

• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

Lien externe

• [1] PDF d'une page internet de Jean-François Burnol Université Lille 1.

Voir aussi

• Fonction maximale de Hardy-Littlewood

• Théorème de différentiation de Lebesgue

• Théorème fondamental de l'analyse

• Intégrale de Lebesgue