Point de cesure

Point de césure

En analyse, un point de césure désigne un point d'irrégularité du comportement d'une série entière à la frontière de son disque de convergence.

Pour une série entière de terme général a_n et de rayon de convergence fini non nul R, un point de césure désigne un point complexe z du cercle de centre 0 et de rayon R au voisinage duquel la somme f ne se prolonge pas en une fonction analytique.

Exemples

Existence des points de césure

Généricité des points de césure

Non seulement il existe des séries entières pour lesquelles tout point du cercle de converge est un point de césure, mais cette situation est générique (en un sens probabiliste) :

Soit une suite infinie (a_n) de nombres complexes et R, presque sûrement, pour une suite θ_n de réels, le série entière $\Sigma a_n e^{i\theta_n}X^n$ est de rayon de convergence R et tous les points du cercle de centre 0 et de rayon R en sont des points de césure.

On peut fort bien supposer les a_n positifs ou nuls. La somme f de la série entière $\Sigma a_n e^{i\theta_n}X^n$ est bien définie sur le disque ouvert de rayon R. Il suffit de démontrer que presque sûrement elle ne se prolonge pas en une fonction analytique au voisinage de tout point rationnel du cercle de rayon R, c'est-à-dire est les points de la forme e^{2iπp / q}. La démonstration s'appuit sur le lemme de Borel-Cantelli.

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