Points de brocard

Points de Brocard

En géométrie, le premier point de Brocard d'un triangle ABC est le point Ω tels que les angles $\widehat{\Omega AB}$ $\widehat{\Omega BC}$ et $\widehat{\Omega CA}$ orientés positivement soient égaux.

Le second point de Brocard du triangle est le point Ω' tels que les angles $\widehat{\Omega'BA}$ $\widehat{\Omega'CB}$ et $\widehat{\Omega'AC}$ orientés positivement soient égaux.

L'existence de ces deux points est une conséquence de la version trigonométrique du théorème de Ceva.

Tous les angles $\widehat{\Omega AB}$ $\widehat{\Omega BC}$ $\widehat{\Omega CA}$ $\widehat{\Omega' BA}$ $\widehat{\Omega'CB}$ et $\widehat{\Omega'AC}$ sont égaux à l'angle de Brocard du triangle, noté ω et qui peut être calculé à partir de la formule :

$\tan \omega = \frac{S}{a^2 + b^2 + c^2}$

où S désigne la surface du triangle.

Enfin, on appelle droite de Brocard l'une quelconque des droites joignant un sommet du triangle à l'un des points de Brocard.

Les coordonnées barycentriques du premier point de Brocard sont $\left(\frac{ac}{b}:\frac{ba}{c}:\frac{cb}{a}\right)$ et celles du second point de Brocard sont $\left(\frac{ab}{c}:\frac{bc}{a}:\frac{ca}{b}\right)$.

Propriétés remarquables

• Les deux points de Brocard sont conjugués isogonaux l'un de l'autre.
• La médiane issue d'un sommet du triangle, la symédiane issue d'un second sommet et une des droites de Brocard issue d'un troisième sommet sont concourantes.

Voir : Construction avec des cercles tangents à un côté passant par deux sommets

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