Polynome de Bernstein


Polynome de Bernstein

Polynôme de Bernstein

Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien ukrainien S. Bernstein, permettent de donner une démonstration constructive du théorème de Stone-Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.

Description

Pour un degré m, il y a m+1 polynômes de Bernstein B^m_0,\dots,B^m_m définis, sur l'intervalle [0,1], par

B_i^m(u) = \begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix} u^i \left( 1-u \right)^{m-i},

où les \begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix} sont les coefficients binomiaux.

Ces polynômes présentent quatre propriétés importantes :

  1. Partition de l'unité : \qquad \sum_{i=0}^m B_i^m(u) = 1, \qquad \forall u \in [0,1]
  2. Positivité : B_i^m(u) \geq 0, \qquad \forall u \in [0,1], \forall i \in 0 \dots m
  3. Symétrie : B_i^m(u) = B_{m-i}^m(1-u), \qquad \forall u \in [0,1], \forall i \in 0 \dots m
  4. Formule de récurrence : 
B_i^m(u) =
\begin{cases}
(1-u)B_i^{m-1}(u),& i = 0\\
(1-u)B_i^{m-1}(u) + u B_{i-1}^{m-1}(u),&\forall i \in 1 \dots m-1\\
uB_{i-1}^{m-1}(u),& i = m
\end{cases}
, \qquad \forall u \in [0,1]
.

On notera la grande ressemblance des polynômes avec la loi binomiale.

Exemple de polynômes de Berstein de degré 3

Voir aussi

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