Polynome de Legendre

Polynôme de Legendre

Polynômes de Legendre

Les polynômes de Legendre sont des solutions y de l'équation différentielle de Legendre.

Équation de Legendre

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On appelle équation de Legendre l'équation : $\frac{d}{dx}[(1-x^{2})\frac{dy}{dx}]+n(n+1)y=0$

où n est un entier naturel représentant l'ordre du polynôme.

On définit ainsi le polynôme de Legendre $\mathcal{L}P=n(n+1)P$

Autres définitions

Définition classique

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On définit simplement le polynôme comme:

$\forall n\in\mathbb N \mid P_n(x)=\frac{1}{n! 2^n}\frac{d^n}{dx^n}\left((x^2-1)^n\right)$

On définit également, pour n entier naturel:

$\ U_n(x)=(x+1)^n(x-1)^n$

$\ P_n(x)=\frac{1}{n! 2^n}\frac{d^n}{dx^n}\left(U_n(x)\right)$

Définitions analytiques

On peut aussi les définir par l'intégrale de contour :

$P_{n}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int(1-2tz+t^{2})^{1/2}t^{-n-1}dt$

où le contour entoure l'origine et est pris dans le sens des aiguilles d'une montre.

On définit ce polynôme sous forme de plusieurs sommes:

$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{E(n/2)} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n-2k}{n}x^{n-2k}$

$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^{k}$

$P_{n}(x)=\frac{(x+1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k}^2 \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^k \qquad \mathrm{pour}\qquad x \ne -1$

ou encore par:

$P_{n}(x)=\frac{(x-1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k}^2 \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^k \qquad \mathrm{pour}\qquad x \ne 1$

Ces formulations permettent de calculer certaines valeurs intéressantes des polynômes.On obtient ainsi que la parité du polynôme dépend de la parité de n:

$P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)\,$

Matrice de la fonction polynôme de Legendre

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & \vdots & 0 &\vdots & 0\\ 0 & 2 & 0 & -6 & 0 &\vdots & 0&\vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 6 & 0 & -12 &\vdots & 0 &\vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 12 & 0 &\vdots & 0 &\vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 20 &\vdots & 0 &\vdots & \vdots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots &\ddots & \vdots &\dots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\dots & k(k+1) &\dots & \vdots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots &\dots & \dots &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\dots & 0 &\dots & n(n+1)\\ \end{pmatrix}$

On remarquera que les vecteurs propres de cette matrice sont colinéaires aux polynômes.^[1]

Valeurs propres

La matrice est triangulaire supérieure. Les valeurs propres sont k(k+1), pour k variant de 0 à n.

Quelques polynômes

Les premiers polynômes sont :

Les 20 premiers polynômes de Legendre.

• $P_{0}(x)=1 \,$
• $P_{1}(x)=x\,$
• $P_{2}(x)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1)\,$
• $P_{3}(x)=\frac{1}{2}(5x^{3}-3x)\,$
• $P_{4}(x)=\frac{1}{8}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,$
• $P_{5}(x)=\frac{1}{8}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,$
• $P_{6}(x)=\frac{1}{16}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,$
• $P_{7}(x)=\frac{1}{16}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,$
• $P_{8}(x)=\frac{1}{128}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}+35)\,$
• $P_{9}(x)=\frac{1}{128}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,$
• $P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,$

On remarquera que pour n supérieur à 2:

• $P_{n}(x)=\frac{1}{\lambda_0+\lambda_1+...+\lambda_n}(\lambda_0+\lambda_1x+\lambda_2x^2...+\lambda_nx^n) \,$

---

La relation de récurrence entre les différents polynômes s'écrit:

• $(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x) - nP_{n-1}(x)\,$

Orthogonalité

Les polynômes orthogonaux les plus simples sont les polynômes de Legendre pour lesquels l'intervalle d'orthogonalité est [−1, 1] et la fonction poids est simplement la fonction constante de valeur 1: Ces polynômes sont orthogonaux par rapport au produit scalaire $\varphi$ défini sur $\R[X]$ par la relation :

$\varphi(P,\, Q) = \int_{-1}^{+1} P(x) Q(x)\, \mathrm{d}x$.

$\varphi(P_m,\, P_n) = \int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)\,\mathrm{d}x = 0\qquad \mathrm{pour}\qquad m \ne n$

Orthonormalité

La norme, calculée comme $\sqrt[]{\int_{0}^{1} P_n^2(x)\,\mathrm{d}x}$, est:

$||P_n||=\sqrt[]{\frac{1}{2n+1}}$

On peut remarquer que P_n est orthogonal à R_{n − 1}[X] donc < P_n,P'_n − 1 > = 0 De plus on peut établir la relation P'_n + 1 − P'_n − 1 = (4n + 2)P_n ceci pour n>1. Et on démontre que < P_n,P'_m > = 2 si m-n est impair et positif. Alors $||P_n||^2={\frac{2}{4n+2}}$

Au final, on a $||P_n||=\sqrt[]{\frac{1}{2n+1}}$

Autres propriétés

Parité

Les polynômes de Legendre suivent la parité de n .On peut exprimer cette proprieté comme:

$P_k(-x) = (-1)^k P_k(x). \,$

On démontre cette proprieté a l'aide des définitions sous forme de somme.

Points particuliers

Comme beaucoup de polynômes orthogonaux classiques comme les polynômes de Tchebychev et d'Hermite les polynômes sont rigoureusement définis. Les propriétés suivantes sont démontrées facilement en étudiant la parité des polynômes et les conditions aux bornes.

$P_{n}(1) = 1 \,$

$P_{n}(-1) = (-1)^n \,$

$P_{2n}(0)=\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{2n}{k} \binom{4n-2k}{2n}0^{2n-2k}=\frac{1}{2^{2n}}(-1)^n\binom{2n}{n} \,$ car la somme se réduit au terme d'indice k = n

$P_{2n+1}(0) = 0 \,$

Applications en physique

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Voir aussi

• Polynômes orthogonaux
• Harmoniques sphériques
• mesures secondaires
• http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_function

Notes

1. ↑ Banque PT ,TSI Algebre,Géométrie,Analyse,Editions Ellipse 1993 ,

Bibliographie

• I.S. Gradshteyn & I.M. Ryzhik ; Table of Integrals, Series, and Products, Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (eds.), Academic Press (6^e édition - 2000), ISBN 0-12-294757-6. Errata sur le site web des éditeurs : www.mathtable.com

• De Nockere ;Tables numériques des polynômes de Legendre , ARB (8e edition - 1949 ) Académie Royale des Sciences des Lettres des Beaux Arts de Belgique

Références

Sujet de l'Ecole Polytechnique 2005 PC: http://www.imprimerie.polytechnique.fr/EnLignes/Files/05_MathPC.pdf

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