Polynome secondaire

Polynôme secondaire

Introduction et définition

On se place sur l'espace de Hilbert $L^2(I,\R,\rho)$ où I est un intervalle de $\R$ et ρ la densité de la mesure.

Les polynômes secondaires associés aux polynômes orthogonaux $\left(P_n\right)_{n \in \N}$ sont les polynômes $\left(Q_n\right)_{n \in \N}$ obtenus par la relation :

$Q_n(X)=\int_I \frac{P_n(t)-P_n(X)}{t-X}\rho(t)\text{d}t$

Ces polynômes ne sont plus orthogonaux, mais suivent la même relation de récurrence que les P_n :

si P_n s'écrit : $P_n(X)=\alpha_n X^n+\alpha_{n-1} X^{n-1}+ \cdots + \alpha_1 X+\alpha_{0}$

alors la relation de récurrence est  :

$XP_n(X)= \frac{\alpha_n}{\alpha_{n+1}}P_{n+1}(X) +\left( \frac{\beta_n}{\alpha_n} -\frac{\beta_{n+1}}{\alpha_{n+1}} \right) P_n(X) +\frac {\alpha_{n-1}||P_n||^2} {\alpha_{n}||P_{n-1}||^2} P_{n-1}(X)$

Polynômes secondaires des polynômes orthogonaux classiques

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Voir aussi

Les polynômes secondaires sont à la base de la théorie des mesures secondaires.

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