Polynôme cyclotomique

Carl Friedrich Gauss

En mathématiques, plus précisément en algèbre commutative, le polynôme cyclotomique^[1] usuel associé à un entier naturel n est le polynôme unitaire dont les racines complexes sont les racines primitives n-ièmes de l'unité. Son degré vaut φ(n), où φ désigne la fonction indicatrice d'Euler. Il est à coefficients entiers et irréductible sur Q. Lorsqu'on réduit ses coefficients modulo un nombre premier p ne divisant pas n, on obtient un polynôme unitaire (également appelé polynôme cyclotomique) à coefficients dans le corps fini F_p, et dont les racines sont les racines primitives n-ièmes de l'unité dans la clôture algébrique de ce corps, mais qui n'est plus nécessairement irréductible. Pour tout entier m, le polynôme X^m − 1 est le produit des polynômes cyclotomiques associés aux diviseurs de m.

L'analyse de ces polynômes permet la résolution de nombreux problèmes. Historiquement, la construction des polygones réguliers à la règle et au compas est celui qui a amené le développement du concept. Ils sont traditionnellement utilisés pour illustrer la théorie de Galois, la résolution d'équations algébriques et la structure des extensions abéliennes.

Histoire

Naissance de la notion

Le traité d'analyse des polynômes cyclotomiques

Carl Friedrich Gauss utilise dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801, les polynômes cyclotomiques. Il apporte une contribution majeure à un problème ouvert depuis l'Antiquité : celui de la construction à la règle et au compas de polygones réguliers. Ces travaux servent de référence durant tout le siècle. Dans ce texte, Gauss détermine avec exactitude la liste des polygones constructibles, et donne une méthode effective pour leur construction jusqu'au polygone à 256 côtés. Ce problème de construction reçoit une réponse définitive par Pierre-Laurent Wantzel dans un article^[2] désormais célèbre.

Cette approche est novatrice et, à bien des égards, préfigure l'algèbre moderne :

Un polynôme n'apparaît plus comme un objet à part entière mais comme un élément d'un ensemble structuré. Si la notion d'anneau des polynômes n'est pas encore formalisée, sa structure euclidienne est découverte et représente l'outil de base de l'analyse de Gauss.

La résolution effective de l'équation cyclotomique conduit Gauss à considérer une structure finie : celle des permutations des racines. On les appelle maintenant période de Gauss. Là encore leurs propriétés algébriques permettent de trouver la solution. Cette approche préfigure l'utilisation de la théorie des groupes en algèbre et la théorie de Galois.

De nouvelles structures sont par la suite définies. La division euclidienne introduit la notion de reste et leur ensemble possède des propriétés algébriques fortes. Une telle structure est maintenant considérée comme un cas particulier de corps fini si le diviseur est un nombre premier. Gauss met en évidence de tels ensembles et utilise avant l'heure le transport de structure par morphisme entre deux anneaux pour montrer le caractère irréductible des polynômes cyclotomiques. Dans le même livre, il utilise ces mêmes structures pour résoudre un autre problème pressenti par Fermat (1601 - 1685) et formalisé par Euler (1707 - 1783) : celui de la loi de réciprocité quadratique.

Dès cette époque, de nombreuses applications sont proposées. L'utilisation de la géométrie ne se limite pas à la construction à la règle et au compas. Le polynôme cyclotomique d'indice quatre permet la construction d'un nouvel ensemble de nombres algébriques celui des entiers de Gauss. Une branche mathématique naît : la théorie algébrique des nombres, elle simplifie la résolution d'équations diophantiennes et permet d'en résoudre de nouvelles.

Polynôme cyclotomique et équation algébrique

Évariste Galois

La recherche de solutions à l'équation polynomiale est un problème qui remonte aux premiers développements sur les polynômes par les mathématiciens de langue arabe. Si l'on cite généralement Al-Khawarizmi (783 850) comme précurseur^[3] avec la résolution de six équations canoniques puis Girolamo Cardano (1501 - 1576) pour la résolution du cas de degré trois^[4] et Ludovico Ferrari (1522 - 1565) pour le quatrième degré, le cas général est resté longtemps mystérieux.

Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) comprend que la résolution de ce problème général est intimement liée aux propriétés des permutations des racines^[5]. Le cas particulier des polynômes cyclotomiques l'illustre. Le groupe des bonnes permutations, aujourd'hui appelé groupe de Galois, est non seulement commutatif mais de plus cyclique. Cette propriété, utilisée à travers le concept des périodes de Gauss, permet une résolution effective pour ce cas particulier.

Une analyse plus profonde par Paolo Ruffini^[6] (1765 - 1822), Niels Henrik Abel^[7] (1802 - 1829) et surtout par Évariste Galois^[8] (1811 - 1832) montre que l'aspect commutatif du groupe est en fait une condition suffisante. Pour être précis, la condition indique que le groupe doit être décomposable en une suite de groupes emboîtés commutatifs. La question naturelle qui se pose alors est de déterminer les extensions du corps des rationnels dont le groupe de Galois est commutatif. Ces extensions sont appelées extensions abéliennes. La structure de corps associée au polynôme cyclotomique, appelée extension cyclotomique, en est un exemple. Qu'elle soit unique signifie que toute équation algébrique résoluble par radicaux se ramène d'une manière ou d'une autre à un polynôme cyclotomique. La réponse est positive : toute extension abélienne du corps des rationnels est un sous-corps d'une extension cyclotomique. La démonstration de ce résultat a demandé presque un demi-siècle d'effort^[9]. Les artisans principaux sont Leopold Kronecker (1823 - 1891) et Heinrich Weber (1842 - 1913).

Si l'analyse des extensions abéliennes finies se termine avec le XIX^e siècle, elle laisse ouvert un large champ de questions, par exemple en arithmétique. Il apparaît alors nécessaire de généraliser la notion de corps cyclotomique sur les extensions infinies. Le sujet est ouvert^[10] par David Hilbert (1862 - 1943). Cet axe de recherche est appelé la théorie des corps de classe. Cette théorie est l'une des plus fructueuses au XX^e siècle. On peut citer par exemple le théorème de réciprocité^[11] d'Emil Artin (1898 - 1962) qui résout le neuvième des problèmes de Hilbert, ou plus récemment, deux lauréats de la médaille Fields pour leurs travaux sur des généralisations de la théorie : Vladimir Drinfeld en 1990 ou Laurent Lafforgue en 2002.

Définition et exemples

Définition

Soit n un entier strictement positif.

Le n-ième polynôme cyclotomique usuel, Φ_n, est défini par

$\Phi_n(X)=\prod_{0\le k<n,~k\land n=1}\left(X-\exp\left(\frac{2ik\pi}n\right)\right)~.$

C'est le cas particulier correspondant à un corps de caractéristique nulle de la généralisation suivante^[12].

Soit k un corps dont la caractéristique ne divise pas n. Le n-ième polynôme cyclotomique sur k, Φ_n,k, est défini par

$\Phi_{n,k}(X)=\prod_{\zeta\in\mu_{n,k}^*}(X-\zeta)~,$

où μ*_n,k désigne l'ensemble des racines primitives n-ièmes de l'unité dans un corps de décomposition de Xⁿ - 1 sur k.

On remarque immédiatement que :

• ce polynôme est unitaire,
• ses racines sont simples,
• son degré vaut φ(n), où φ désigne la fonction indicatrice d'Euler,
• il est égal à Φ_n,k0 si k₀ est le sous-corps premier de k.

Quelques propriétés plus secondaires découlent aussi directement de la définition :

• pour n > 1, Φ_n est un polynôme réciproque, c'est-à-dire que dans la suite de ses coefficients, le premier est égal au dernier, le deuxième à l'avant dernier, etc.
• si q est le radical de n alors Φ_n(X) = Φ_q(X^n/q),
• si p est un nombre premier ne divisant pas n alors Φ_pn(X) = Φ_n(X^p)/Φ_n(X),
• Φ_2n(X) est égal à Φ_n(-X) si n est impair, et à Φ_n(X²) si n est pair.

Dans la suite de l'article, on démontrera les propriétés plus importantes suivantes :

• les polynômes cyclotomiques usuels Φ_n sont à coefficients entiers, et irréductibles sur Q.
• Φ_n,k(X) est l'image de Φ_n(X) par le morphisme canonique Z[X] → k[X].

La seconde propriété fait que le polynôme cyclotomique sur k Φ_n,k est souvent noté simplement Φ_n.

On appelle corps cyclotomique, ou extension cyclotomique de Q, tout corps de rupture d'un polynôme cyclotomique usuel Φ_n.

Premiers polynômes cyclotomiques

Les premiers polynômes cyclotomiques usuels sont :

$\Phi_1(X) = X - 1\,$

$\Phi_2(X) = X + 1\,$

$\Phi_3(X) = X^2 + X + 1\,$

$\Phi_4(X) = X^2 + 1\,$

$\Phi_5(X) = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\,$

$\Phi_6(X) = X^2 - X + 1\,$

$\Phi_7(X) = X^6+X^5+X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\,$

Migotti a démontré que si n n'a qu'un ou deux facteurs premiers impairs alors tous les coefficients de Φ_n sont égaux à 0, -1 ou 1^[13]. Le plus petit n ayant trois facteurs premiers impairs est n = 3 × 5 × 7 = 105 et Φ₁₀₅ a deux coefficients égaux à -2 :

$\begin{align}\Phi_{105}(X)=&\quad X^{48}+X^{47}+X^{46}-X^{43}-X^{42}-2X^{41}-X^{40}-X^{39}+X^{36}+X^{35}+X^{34}\\&+X^{33}+X^{32}+X^{31}-X^{28}-X^{26}-X^{24}-X^{22}-X^{20}+X^{17}+X^{16}+X^{15}\\&+X^{14}+X^{13}+X^{12}-X^9-X^8-2 X^7-X^6-X^5+X^2+X+1~.\end{align}$

Mais la réciproque est fausse : par exemple Φ₆₅₁ = Φ_{3 × 7 × 31} n'a que des coefficients égaux à 0, -1 ou 1.

Pour tout entier naturel m, il existe un entier n tel que m ou -m soit l'un des coefficients de Φ_n, et le plus petit tel n est donné, en fonction de m, par la suite A013594 de l’OEIS.

Propriétés remarquables

Formule multiplicative et conséquences

En supposant toujours que la caractéristique de k ne divise pas n, et en groupant les n racines n-ièmes de l'unité (dans la clôture algébrique de k) suivant leurs ordres, on obtient l'équation suivante, où le produit porte sur l'ensemble des entiers strictement positifs qui divisent n :

$(1)\qquad X^n-1= \prod_{d|n} \Phi_{d,k}(X)~.$

La figure de droite illustre cette décomposition. Le groupe des six racines sixièmes de l'unité est constitué d'une racine d'ordre 1, une d'ordre 2, deux d'ordre 3, et deux d'ordre 6, qui sont respectivement racines de Φ₁, Φ₂ (de degré 1) et Φ₃, Φ₆ (de degré 2).

Remarque 1 : l'identité sur les degrés dans (1) fournit immédiatement :

$n=\sum_{d|n} \varphi(d)\;$

Cette identité peut aussi s'obtenir par un dénombrement direct des éléments d'un groupe cyclique d'ordre n.

Remarque 2 : l'égalité (1) fournit également une expression du polynôme cyclotomique, à l'aide de la fonction de Möbius μ :

$(2)\qquad\Phi_{n,k}(X) = \prod_{d|n}(X^d - 1)^{\mu(n/d)}~.$

Remarque 3 : en particulier, si n est premier, alors :

$\Phi_{n,k}(X)=\frac{X^n-1}{X-1}=\sum_{\ell=0}^{n-1} X^\ell~.$

Mais l'égalité (1) permet surtout de démontrer, par récurrence sur n, que les Φ_n,k sont à coefficients dans le sous-anneau A de k engendré par 1 (i.e. à coefficients entiers si k est de caractéristique nulle, et à coefficients dans F_p si k est de caractéristique p). En effet, Φ_1,k(X) = X - 1 appartient à A[X], et si les Φ_d,k(X) appartiennent à A[X] pour tous les diviseurs stricts d de n alors

$\Phi_{n,k}(X)=\frac{X^n-1}{\prod_{d|n,~d\ne n}\Phi_{d,k}(X)}\in A[X]~,$

puisque le dénominateur est un polynôme unitaire. Le résultat principal est donc :

• Les polynômes cyclotomiques usuels sont à coefficients entiers.

Le résultat pour les polynômes cyclotomiques « généralisés » a été démontré par la même occasion, mais s'en déduit aussi par la propriété suivante, qui se démontre selon le même schéma de récurrence :

• Les polynômes cyclotomiques sur k sont les images des polynômes cyclotomiques usuels par le morphisme canonique Z[X] → k[X].

Alternativement, ces deux résultats peuvent se déduire de l'égalité (2).

Cas du corps des nombres rationnels

• Tout polynôme cyclotomique usuel est irréductible sur Q.

Autrement dit : si ζ est une racine primitive n-ième de 1 dans C, le degré de l'extension Q(ζ)/Q,[Q(ζ):Q] est exactement φ(n)^[14].

Ces polynômes étant unitaires et à coefficients entiers, ils sont donc également irréductibles sur Z.

Démonstration

Soit ζ une racine primitive n-ième de 1 dans C, il s'agit de prouver que pour toute racine primitive n-ième ζ' de 1, le polynôme minimal de ζ' sur Q coïncide avec celui de ζ. Comme ζ' est de la forme ζ^m avec m produit de nombres premiers ne divisant pas n, on peut, de proche en proche, se ramener au cas où ζ' = ζ^p avec p premier ne divisant pas n.

Notons alors f(X) et g(X) les polynômes minimaux respectifs sur Q de ζ et de ζ' = ζ^p, et montrons par l'absurde qu'ils sont égaux. Sinon, ils seraient deux facteurs irréductibles distincts de Φ_n, donc il existerait un polynôme h tel que

$\Phi_n(X)=f(X)g(X)h(X)~,$

les polynômes unitaires f, g, h étant à coefficients entiers (par le lemme de Gauss).

Par ailleurs, 0 = g( ζ' ) = g( ζ^p ). On en déduit l'existence d'un polynôme unitaire k (lui aussi à coefficients entiers) tel que :

$g(X^p)=f(X)k(X)~.$

En prenant les images canoniques de tous ces polynômes dans F_p[X] on aurait donc :

$\overline f(X)\overline g(X)~\text{divise}~\Phi_{n,F_p}\qquad\text{et}\qquad\overline f(X)~\text{divise}~\overline g(X^p)=(\overline g(X))^p~,$

cette dernière égalité résultant de la formule du binôme et du petit théorème de Fermat.

Tout facteur irréductible de $\overline f(X)$ diviserait alors $(\overline g(X))^p$ donc aussi $\overline g(X)$, si bien que son carré diviserait Φ_n,Fp, ce qui est absurde puisque ce polynôme est à racines simples (dans un corps de décomposition). Cette contradiction termine la preuve.

Cas de la caractéristique non nulle

Article détaillé : Corps fini.

En caractéristique p (un nombre premier), les polynômes cyclotomiques ne sont pas nécessairement irréductibles sur le sous-corps premier F_p. Par exemple :

$\Phi_{7,F_2}(X)=(X^3+X^2+1)(X^3+X+1)~.$

D'autres exemples sont donnés dans le paragraphe Polynôme irréductible de l'article sur les corps finis.

Nous allons préciser le nombre et le degré des facteurs irréductibles de Φ_n,Fp.

Soient P un facteur irréductible de Φ_n,Fp et d son degré. L'extension F_p[X]/(P(X)) est un corps de cardinal q = p^d, donc est isomorphe au corps fini F_q. Or tout corps fini de caractéristique p est de cardinal une puissance q' de p, et est le corps de décomposition du polynôme X^q'-1 - 1. Par conséquent, F_q étant la plus petite extension de corps de F_p contenant une racine primitive n-ième de l'unité, d est le plus petit entier tel que n divise p^d - 1. On retrouve ainsi - cf Théorème d'Euler - que cet entier d divise φ(n), mais surtout, on vient de montrer que^[15] :

• En notant d l'ordre multiplicatif de p modulo n, Φ_n,Fp est le produit de φ(n)/d facteurs irréductibles de degré d.

En particulier, Φ_n,Fp est irréductible si et seulement si p engendre le groupe des unités de l'anneau Z/nZ. Une condition nécessaire (mais pas suffisante) pour cela est donc que ce groupe soit cyclique, c'est-à-dire^[16] que n = 4, ou une puissance d'un premier impair, ou le double d'une telle puissance. Par exemple pour n = 8, ce groupe n'est pas cyclique, donc Φ₈ est réductible sur tous les F_p. À l'inverse, lorsque ce groupe est cyclique, il existe (d'après le théorème de la progression arithmétique) une infinité de nombres premiers p pour lesquels Φ_n,Fp est irréductible (ce qui, pour ces n, fournit autant de preuves alternatives de l'irréductibilité sur Z du polynôme cyclotomique usuel Φ_n).

Extension cyclotomique

Article détaillé : Extension cyclotomique.

Une extension cyclotomique (sur Q) est par définition un corps de rupture d'un polynôme cyclotomique usuel Φ_n, c’est-à-dire le plus petit corps contenant une racine primitive n-ième de l'unité. C'est une extension galoisienne abélienne. D'après le théorème de Gauss-Wantzel, elle se décompose en une tour d'extensions quadratiques si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 par un nombre fini de nombres premiers de Fermat distincts. Or d'après le théorème de Wantzel, cette propriété de réductibilité à une succession d'extensions quadratiques équivaut à la constructibilité d'une racine primitive n-ième de l'unité, i.e. à la possibilité d'une construction à la règle et au compas du polygone régulier à n sommets.

Théorème de Wedderburn

Article détaillé : Théorème de Wedderburn.

Le théorème de Wedderburn affirme que tout corps fini K est nécessairement commutatif. La démonstration de Ernst Witt est relativement curieuse. Tout d'abord le polynôme cyclotomique utilisé est celui de la caractéristique zéro et non celui du corps. Ensuite, son rôle est celui d'un dénombrement. Les cardinaux des classes par l'action par conjugaison sont sommés pour obtenir le cardinal du groupe multiplicatif du corps. Cette égalité s'exprime par une équation de la forme q - 1 = Φ_d(q) Q(q), où q est le cardinal (au moins égal à 2) du centre du corps K, le cardinal de K étant q^d ; Q(X) est un polynôme à coefficients entiers, ce qui implique que Q(q) est une valeur entière, si bien que

$|\Phi_d(q)|\le q-1$ .

La fin de la démonstration quitte le dénombrement pour devenir géométrique. Pour tout n > 1, toute racine primitive n-ième de l'unité u vérifie la minoration | q-u | > q - 1 (illustrée par la figure de droite), qui permet de prouver que

$\forall n>1,\quad |\Phi_n(q)|>q-1$ .

On en déduit d = 1, si bien que K coïncide avec son centre.

Notes et références

Notes

1. ↑ Du grec κυκλας : cercle et τομη : découpe
2. ↑ Pierre-Laurent Wantzel, Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas, 1837
3. ↑ Al-Khawarizmi, Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison
4. ↑ Girolamo Cardano, Ars Magna, 1545.
5. ↑ Joseph-Louis Lagrange, Réflexions sur la résolution algébrique des équations, 1770
6. ↑ Paolo Ruffini, La théorie générale des équations dans laquelle il est démontré qu'il est impossible de donner les solutions générales des équations de degré strictement supérieur à 4, 1799
7. ↑ Niels Henrik Abel, Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré, 1824.
8. ↑ Évariste Galois, Manuscrit de Galois dans Journal des mathématiques pures et appliquées, 1846
9. ↑ Heinrich Weber, Lecture en algèbre, 1895
10. ↑ David Hilbert, La théorie des corps de nombres algébriques, 1897.
11. ↑ Emil Artin, Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes, 1927
12. ↑ Extraite de Daniel Perrin, Cours d'algèbre  [détail des éditions], p. 80
13. ↑ (en) Martin Isaacs, Algebra: A Graduate Course, Providence, AMS Bookstore, 2009 (ISBN 978-0-8218-4799-2), p. 310 
14. ↑ Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] et Daniel Perrin, Cours d'algèbre  [détail des éditions] donnent ces deux formulations équivalentes et en fournissent essentiellement la même preuve que celle présentée ici.
15. ↑ Une manière plus savante de démontrer ce résultat est d'étudier l'action sur l'extension galoisienne F_q (par automorphismes) du groupe de Galois, engendré par l'automorphisme de Frobenius.
16. ↑ Daniel Perrin, Cours d'algèbre  [détail des éditions] p. 84

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cyclotomic polynomial » (voir la liste des auteurs)
• Daniel Perrin, Cours d'algèbre  [détail des éditions]
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• MacTutor pour les références historiques

Voir aussi

Liens externes

• Sur l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques par Daniel Ferrand, université de Rennes 1, janvier 2007, cours de préparation à l'agrégation de mathématiques
• L'incroyable histoire des polynômes cyclotomiques (niveau 3^e année de licence) sur le site tanopah.jo.free.fr

Bibliographie

• JP Escofier, Théorie de Galois. Cours avec exercices corrigés, Masson, 1997
• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]

Articles connexes