Polyèdre régulier

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Un polyèdre est dit régulier s'il est constitué de faces toutes identiques et régulières, et que tous ses sommets sont identiques. Ils sont au nombre de neuf, dont cinq sont convexes et étaient connus de Platon. On appelle parfois polyèdres réguliers uniquement les solides de Platon.

Historique

Il semble que Pythagore lui-même (vers 530 av. J.-C.) ou le pythagoricien Archytas de Tarente (vers 360 av. J.-C.), ait découvert les trois premiers des cinq : le tétraèdre (la pyramide), l'hexaèdre (le cube), le dodécaèdre. Ensuite, Théétète d'Athènes (mort en 395 ou en 369 av. J.-C.) découvrit les deux autres : l'octaèdre et l'icosaèdre. Platon les utilise profondément dans le Timée (55e-56c), qui date de 358 av. J.-C. Euclide les étudie dans ses Éléments (vers 300 av. J.-C.).

Le tétraèdre régulier (pyramide)

Article détaillé : tétraèdre.

Le tétraèdre (de tétra, quatre, et èdre, base), polyèdre à 4 faces triangulaires,

• est constitué de 4 faces en triangle équilatéral,
• possède 4 sommets et 6 arêtes,
• et possède 24 triangles rectangles scalènes (dont les trois côtés sont inégaux).

L'hexaèdre régulier (cube)

Article détaillé : cube.

L'hexaèdre (de hexa, six, et èdre, base)

• est constitué de 6 faces carrées,
• possède 8 sommets et 12 arêtes,
• possède 24 triangles rectangles isocèles (avec deux côtés égaux)?

L'octaèdre régulier

Article détaillé : octaèdre régulier.

L'octaèdre (de octa, huit, et èdre, base)

• est constitué de 8 faces en triangle équilatéral,
• possède 6 sommets et 12 arêtes,
• possède 48 triangles rectangles scalènes.

Le dodécaèdre régulier

Article détaillé : dodécaèdre régulier.

Le dodéacèdre (de dodéca, douze, et èdre, base)

• est constitué de 12 faces pentagonales égales,
• possède 20 sommets et 30 arêtes.

L'icosaèdre

Article détaillé : icosaèdre régulier.

L'icosaèdre (de icosa, vingt, et èdre, base)

• est constitué de 20 faces en triangle équilatéral,
• possède 12 sommets et 30 arêtes,
• possède 120 triangles rectangles scalènes.

Les centres des faces d'un solide de Platon sont les sommets d'un solide de Platon. Cette correspondance est interne parmi les tétraèdres ; elle échange cubes et octaèdres d'une part, dodécaèdres et icosaèdres d'autre part.

Article détaillé : Dual d'un polyèdre.

Platon considérait ces solides comme l'image de la perfection ; pour lui, comme il l'explique dans le Timée, le tétraèdre est le symbole du feu, l'octaèdre celui de l'air, l'icosaèdre celui de l'eau, le cube celui de la terre et le dodécaèdre celui de l'univers tout entier.

Les mathématiques modernes rattachent ces cinq solides réguliers à la notion de groupe.

Cf. le Mémoire de Cauchy à l'école polytechnique.

Démonstration

Montrons qu'il ne peut exister que cinq polyèdres réguliers ; cette démonstration est équivalente à celle d'Euclide.

Conditions

Soit m le nombre d'arêtes d'une face, n le nombre de faces qui se rejoignent en un sommet du polyèdre. Nous savons que :

• m et n sont des nombres entiers naturels ;
• $m \ge 3$, car un polygone, figure en deux dimensions, possède au moins trois arêtes ;
• $n \ge 3$, car un sommet dans un polyèdre, figure en trois dimensions, ne peut rejoindre moins de trois faces ;
• l'angle d'un n-polygone régulier vaut $\frac{180(n-2)}{n}$ degrés : 60 degrés pour un triangle équilatéral, 90 pour un carré, 108 pour un pentagone régulier, 120 pour un hexagone régulier, etc. ;
• la somme des angles en un sommet ne peut dépasser 360 degrés, sans quoi les faces sont coplanaires ou se chevauchent.

Équation

Il s'agit donc de trouver toutes les solutions du système suivant :

$\begin{cases} m, n \in \mathbb N \\ m, n \ge 3 \\ s(m,n) = \frac{180m(n-2)}{n} < 360 \end{cases}$

Solutions

Si m = 3, les seules solutions sont :

* n = 3 (tétraèdre), car s(3,3) = 180 < 360,
* n = 4 (octaèdre), car s(3,4) = 270 < 360 et 
* n = 5 (icosaèdre), car s(3,5) = 324 < 360. 
*Si $n \ge 6$, alors le résultat est trop grand : s(3,6) = 360.

Si m = 4, la seule solution est :

* n = 3 (cube, où s(4,3) = 240 < 360). 
* Si $n \ge 4$, alors le résultat est trop grand : s(4,4) = 360.

Si m = 5, la seule solution est :

* n = 3 (dodécaèdre, où s(5,3) = 300 < 360).
* Si $n \ge 4$, alors le résultat est trop grand : s(5,4) = 450 > 360.

Si $m \ge 6$, il n'y a plus de solution : s(6,3) = 360 et si m > 6 alors s(m,n) > 360 pour tout $n \ge 3$.

Dualité

Cette méthode permet d'identifier également les polyèdres duaux, car il suffit d'inverser m et n pour obtenir le dual d'un polyèdre :

• le dual du tétraèdre (3,3) est le tétraèdre (3,3) lui-même ;
• le dual de l'octaèdre (3,4) est le cube (4,3) ;
• le dual de l'icosaèdre (3,5) est le dodécaèdre (5,3).

On voit également que le tétraèdre est le seul autodual, car, une fois posé m = n, la seule solution de l'équation

$s(n,n) = \frac{180n(n-2)}{n} = 180 (n-2) < 360$

est n = 3, puisque s(3,3) = 180 < 360 ; alors qu'avec n = 4, le résultat est trop grand : s(4,4) = 360.

Les polyèdres de Kepler-Poinsot

Outre les cinq solides de Platon, on peut construire quatre autres solides réguliers, deux dont les faces sont des polygones réguliers étoilés (ou croisés) : les solides de Kepler, et deux ayant des faces régulières, mais qui peuvent s'interpénétrer : les solides de Poinsot.

• Le petit dodécaèdre étoilé a été découvert par Kepler vingt-deux siècles après Platon, en 1619. Il a 12 faces qui sont des pentagones étoilés, 12 sommets et 30 arêtes. En chaque sommet se réunissent trois faces.
• Kepler a aussi découvert le grand dodécaèdre étoilé, formé des mêmes douze pentagones étoilés, qui a aussi 30 arêtes mais seulement 20 sommets.
• Poinsot découvre le grand dodécaèdre en 1809. Ses 12 faces sont des pentagones réguliers, il a 12 sommets et 30 arêtes.
• Il découvre enfin le grand icosaèdre, formé de 20 triangles équilatéraux, et qui possède 12 sommets et 30 arêtes.

• 

  petit dodécaèdre étoilé {5/2, 5}

• 

  grand dodécaèdre étoilé {5/2, 3}

• 

  grand dodécaèdre
  {3, 5/2}

• 

  grand icosaèdre
  {5, 5/2}

Liens internes

• Solide de Platon
• Les dômes géodésiques ou géodes
• Les polychores réguliers sont les analogues à 4 dimensions des polyèdres réguliers.

Liens externes

• Site pédagogique et complet