- Polyèdres de Johnson
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Solide de Johnson
La gyrobicoupole octogonale allongée (J37), un solide de Johnson.
Ce cube composé de 24 faces carrées n'est pas un solide de Johnson parce qu'il n'est pas strictement convexe (il a des angles diédraux égaux à zéro.
Cet exemple à 24 triangles n'est pas un solide de Johnson parce qu'il est concave.En géométrie, un solide de Johnson est un polyèdre strictement convexe dont chaque face est un polygone régulier et qui n'est pas un solide de Platon, un solide d'Archimède, un prisme ou un antiprisme. Il n'est pas nécessaire que chaque face soit un polygone identique, ou que les mêmes polygones se rejoignent autour de chaque sommet. Un exemple de solide de Johnson est la pyramide à base carrée avec des cotés triangulaires équilatéraux (J1) ; il possède une face carrée et quatre faces triangulaires.
Comme dans un solide strictement convexe au moins trois faces se rencontrent à chaque sommet, le total de leurs angles est moindre que 360 degrés. Puisqu'un polygone régulier possède des angles supérieurs à 60 degrés, on en déduit que cinq faces au plus se rencontrent à un sommet quelconque. La pyramide pentagonale (J2) est un exemple qui a un sommet de degré 5.
Bien qu'il n'existe pas de restriction évidente qu'un polygone régulier quelconque donné puisse être un solide de Johnson, il s'avère que les faces des solides de Johnson ont toujours 3, 4, 5, 6, 8 ou 10 côtés.
En 1966, Norman Johnson a publié une liste qui incluait les 92 solides, et leur donna leurs noms et leurs nombres. Il ne démontra pas qu'il n'en existait que 92, mais il conjectura qu'il n'y en avait pas d'autres. Victor Zalgaller en 1969 a démontré que la liste de Johnson était complète. On utilise les noms et l'ordre donnés par Johnson, et on les note Jxx.
Des solides de Johnson, la gyrobicoupole octogonale allongée (J37) est le seul qui est de sommet uniforme : il existe quatre faces à chaque sommet, et leur arrangement est toujours le même : trois carrés et un triangle.
Sommaire
Noms
Les noms sont listés ci-dessous et sont plus descriptifs que ce que l'on entend. Beaucoup de ces solides peuvent être construits par ajout de pyramides, de coupoles et de rotondes sur des faces de solide de Platon, solide d'Archimède, de prismes ou d'antiprismes.
- Le préfixe Bi- signifie que deux copies du solide en question sont jointes base sur base. Pour les coupoles et les rotondes, elles peuvent être jointes telles que les faces se rencontrent (ortho-) ou non (gyro-). Dans cette nomenclature, un octaèdre serait nommé une bipyramide carrée, un cuboctaèdre serait nommé une gyrobicoupole hexagonale et un icosidodécaèdre une gyrobirotonde décagonale.
- Allongé signifie qu'un prisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un rhombicuboctaèdre serait nommé une orthobicoupole octogonale allongée.
- Gyroallongée signifie qu'un antiprisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un icosaèdre serait nommé une bipyramide pentagonale gyroallongée.
- Augmenté signifie qu'une pyramide ou une coupole a été jointe à une face du solide en question.
- Diminuée signifie qu'une pyramide ou une coupole a été enlevée du solide en question.
- Gyration signifie qu'une coupole sur le solide en question a subi une rotation telle que les différentes arêtes coïncident, comme pour la différence entre ortho et gyro bicoupoles.
Les trois dernières opérations — augmentation, diminution et gyration — peuvent être exécutées plus d'une fois sur un solide suffisamment grand. Nous ajoutons bi- au nom de l'opération pour indiquer que cela a été exécuté deux fois. (Un solide bigyré a deux de ses coupoles ayant subi une rotation). Nous ajoutons tri- pour indiquer que cela a été exécuté trois fois. (Un solide tridimininué a trois de ses pyramides ou coupoles enlevées).
Quelquefois, bi- tout seul n'est pas assez précis. Nous devons distinguer entre un solide qui a deux faces parallèles altérées et un qui a deux faces obliques altérées. Lorsque deux faces altérées sont parallèles, nous ajoutons para- au nom de l'opération. (Un solide parabiaugmenté possède deux faces parallèles augmentées). Lorsque elles ne le sont pas, nous ajoutons méta- au nom de l'opération. (Un solide métabiaugmenté possède deux faces obliques augmentées).
Liste et noms de Johnson
S : nombre de sommets,
A : nombre d'arêtes,
F : nombre total de faces, dont :
F3 triangles,
F4 carrés,
F5 pentagones,
F6 hexagones,
F8 octogones,
F10 décagones.Prismatoïdes et rotondes
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie 1 pyramide carrée 
pyramide 5 8 5 4 1 0 0 0 0 C4v 2 pyramide pentagonale 
pyramide 6 10 6 5 0 1 0 0 0 C5v 3 coupole hexagonale 
coupole 9 15 8 4 3 0 1 0 0 C3v 4 coupole octogonale 
coupole 12 20 10 4 5 0 0 1 0 C4v 5 coupole décagonale 
coupole 15 25 12 5 5 1 0 0 1 C5v 6 rotonde décagonale 
rotonde 20 35 17 10 0 6 0 0 1 C5v Pyramides modifiées et dipyramides
- pyramide allongée
- pyramide gyroallongée
- bipyramide
- dipyramide allongée
- dipyramide gyroallongée
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie 7 pyramide triangulaire allongée 
pyramide allongée 7 12 7 4 3 0 0 0 0 C3v 8 pyramide carrée allongée 
pyramide allongée 9 16 9 4 5 0 0 0 0 C4v 9 pyramide pentagonale allongée 
pyramide allongée 11 20 11 5 5 1 0 0 0 C5v 10 pyramide carrée gyroallongée 
pyramide gyroallongée 9 20 13 12 1 0 0 0 0 C4v 11 pyramide pentagonale gyroallongée 
pyramide gyroallongée 11 25 16 15 0 1 0 0 0 C5v 12 diamant triangulaire 
dipyramide (ou diamant) 5 9 6 6 0 0 0 0 0 D3h 13 diamant pentagonal 
dipyramide (ou diamant) 7 15 10 10 0 0 0 0 0 D5h 14 diamant triangulaire allongé 
dipyramide allongée (ou diamant) allongé 8 15 9 6 3 0 0 0 0 D3h 15 diamant carré allongé 
dipyramide allongée (ou diamant) allongé 10 20 12 8 4 0 0 0 0 D4h 16 diamant pentagonal allongé 
dipyramide allongée (ou diamant) allongé 12 25 15 10 5 0 0 0 0 D5h 17 diamant carré gyroallongé 
dipyramide allongée ou (diamant) allongé 10 24 16 16 0 0 0 0 0 D4d Coupoles et rotondes modifiées
- coupole allongée
- rotonde allongée
- birotonde allongée
- coupole-rotonde allongée
- bicoupole allongée
- coupole gyroallongée
- rotonde gyroallongée
- bicoupole
- birotonde
- coupole-rotonde
- bicoupole gyroallongée
- birotonde gyroallongée
- coupole-rotonde gyroallongée
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie 18 coupole hexagonale allongée 
coupole allongée 15 27 14 4 9 0 1 0 0 C3v 19 coupole octogonale allongée 
coupole allongée 20 36 18 4 13 0 0 1 0 C4v 20 coupole décagonale allongée 
coupole allongée 25 45 22 5 15 1 0 0 1 C5v 21 rotonde décagonale allongée 
rotonde allongée 30 55 27 10 10 6 0 0 1 C5v 22 coupole hexagonale gyroallongée 
coupole gyroallongée 15 33 20 16 3 0 1 0 0 C3v 23 coupole octogonale gyroallongée 
coupole gyroallongée 20 44 26 20 5 0 0 1 0 C4v 24 coupole décagonale gyroallongée 
coupole gyroallongée 25 55 32 25 5 1 0 0 1 C5v 25 rotonde décagonale gyroallongée 
rotonde gyroallongée 30 65 37 30 0 6 0 0 1 C5v 26 gyrobiprisme triangulaire 
bicoupole 8 14 8 4 4 0 0 0 0 D2d 27 orthobicoupole hexagonale 
bicoupole 12 24 14 8 6 0 0 0 0 D3h 28 orthobicoupole octogonale 
bicoupole 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4h 29 gyrobicoupole octogonale 
bicoupole 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4d 30 orthobicoupole décagonale 
bicoupole 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5h 31 gyrobicoupole décagonale 
bicoupole 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5d 32 orthocoupole-rotonde décagonale 
coupole-rotonde 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v 33 gyrocoupole-rotonde décagonale 
coupole-rotonde 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v 34 orthobirotonde décagonale 
birotonde 30 60 32 20 0 12 0 0 0 C5v 35 orthobicoupole hexagonale allongée 
bicoupole allongée 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3h 36 gyrobicoupole hexagonale allongée 
bicoupole allongée 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3d 37 gyrobicoupole octogonale allongée 
bicoupole allongée 24 48 26 8 18 0 0 0 0 D4h 38 orthobicoupole décagonale allongée 
bicoupole allongée 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5h 39 gyrobicoupole décagonale allongée 
bicoupole allongée 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5v 40 orthocoupole-rotonde décagonale allongée 
coupole-rotonde allongée 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v 41 gyrocoupole-rotonde décagonale allongée 
coupole-rotonde allongée 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v 42 orthobirotonde décagonale allongée 
birotonde allongée 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5h 43 gyrobirotonde décagonale allongée 
birotonde allongée 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5v 44 bicoupole hexagonale gyroallongée 
bicoupole gyroallongée 18 42 26 20 6 0 0 0 0 D3v 45 bicoupole octogonale gyroallongée 
bicoupole gyroallongée 24 56 34 24 10 0 0 0 0 D4v 46 bicoupole décagonale gyroallongée 
bicoupole gyroallongée 30 70 42 30 10 2 0 0 0 D5v 47 coupole-rotonde décagonale gyroallongée 
coupole-rotonde gyroallongée 35 80 47 35 5 7 0 0 0 C5v 48 birotonde décagonale gyroallongée 
birotonde gyroallongée 40 90 52 40 0 12 0 0 0 C5v prismes augmentés
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie 49 prisme triangulaire augmenté 
prisme augmenté 7 13 8 6 2 0 0 0 0 - 50 prisme triangulaire biaugmenté 
prisme augmenté 8 17 11 10 1 0 0 0 0 - 51 prisme triangulaire triaugmenté 
prisme augmenté 9 21 14 14 0 0 0 0 0 - 52 prisme pentagonal augmenté 
prisme augmenté 11 19 10 4 4 2 0 0 0 - 53 prisme pentagonal biaugmenté 
prisme augmenté 12 23 13 8 3 2 0 0 0 - 54 prisme hexagonal augmenté 
prisme augmenté 13 22 11 4 5 0 2 0 0 - 55 prisme hexagonal parabiaugmenté 
prisme augmenté 14 26 14 8 4 0 2 0 0 - 56 prisme hexagonal métabiaugmenté 
prisme augmenté 14 26 14 8 4 0 2 0 0 - 57 prisme hexagonal triaugmenté 
prisme augmenté 15 30 17 12 3 0 2 0 0 - Solides de Platon modifiés
- Dodécaèdres augmentés
- Icosaèdres diminués
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie 58 dodécaèdre augmenté 
dodécaèdre augmenté 21 35 16 5 0 11 0 0 0 - 59 dodécaèdre parabiaugmenté 
dodécaèdre augmenté 22 40 20 10 0 10 0 0 0 - 60 dodécaèdre métabiaugmenté 
dodécaèdre augmenté 22 40 20 10 0 10 0 0 0 - 61 dodécaèdre triaugmenté 
dodécaèdre augmenté 23 45 24 15 0 9 0 0 0 - 62 icosaèdre métabidiminué 
icosaèdre diminué 10 20 12 10 0 2 0 0 0 - 63 icosaèdre tridiminué 
icosaèdre diminué 9 15 8 5 0 3 0 0 0 - 64 icosaèdre tridiminué augmenté 
icosaèdre diminué 10 18 10 7 0 3 0 0 0 - Solides d'Archimède modifiés
- Tétraèdre tronqué augmenté
- Cube tronqué augmenté
- Dodécaèdre tronqué augmenté
- Petit rhombicosidodécaèdre gyré
- Petit rhombicosidodécaèdre diminué
- Petit rhombicosidodécaèdre diminué gyré
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie 65 tétraèdre tronqué augmenté 
tétraèdre tronqué augmenté 15 27 14 8 3 0 3 0 0 - 66 cube tronqué augmenté 
cube tronqué augmenté 28 48 22 12 5 0 0 5 0 - 67 cube tronqué biaugmenté 
cube tronqué augmenté 32 60 30 16 10 0 0 4 0 - 68 dodécaèdre tronqué augmenté 
dodécaèdre tronqué augmenté 65 105 42 25 5 1 0 0 11 - 69 dodécaèdre tronqué parabiaugmenté 
dodécaèdre tronqué augmenté 70 120 52 30 10 2 0 0 10 - 70 dodécaèdre tronqué métabiaugmenté 
dodécaèdre tronqué augmenté 70 120 52 30 10 2 0 0 10 - 71 dodécaèdre tronqué triaugmenté 
dodécaèdre tronqué augmenté 75 135 62 35 15 3 0 0 9 - 72 gyro-rhombicosidodécaèdre 
rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 - 73 parabigyro-rhombicosidodécaèdre 
rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 - 74 métabigyro-rhombicosidodécaèdre 
rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 - 75 trigyro-rhombicosidodécaèdre 
rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 - 76 rhombicosidodécaèdre diminué 
rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 - 77 rhombicosidodécaèdre paragyrodiminué 
rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 - 78 rhombicosidodécaèdre métagyrodiminué 
rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 - 79 rhombicosidodécaèdre bigyrodiminué 
rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 - 80 rhombicosidodécaèdre parabidiminué 
rhombicosidodécaèdre diminué 50 90 42 10 20 10 0 0 2 - 81 rhombicosidodécaèdre métabidiminué 
rhombicosidodécaèdre diminué 50 90 42 10 20 10 0 0 2 - 82 rhombicosidodécaèdre gyrobidiminué 
rhombicosidodécaèdre diminué 50 90 42 10 20 10 0 0 2 - 83 rhombicosidodécaèdre tridiminué 
rhombicosidodécaèdre diminué 45 75 32 5 15 9 0 0 3 - Divers
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie 84 Disphénoïde adouci 
- 8 18 12 12 0 0 0 0 0 - 85 antiprisme carré adouci 
- 16 40 26 24 2 0 0 0 0 - 86 sphéno-couronne 
- 10 22 14 12 2 0 0 0 0 - 87 sphéno-couronne augmentée 
- 11 26 17 16 1 0 0 0 0 - 88 sphénoméga-couronne 
- 12 28 18 16 2 0 0 0 0 - 89 hébesphénoméga-couronne 
- 14 33 21 18 3 0 0 0 0 - 90 disphéno-ceinture 
- 16 38 24 20 4 0 0 0 0 - 91 birotonde bilunaire 
- 14 26 14 8 2 0 0 0 0 - 92 hébesphéno-rotonde triangulaire 
- 18 36 20 13 3 3 1 0 0 - Références
- Norman W. Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Contient l'énumération originale des 92 solides et la conjecture affirmant qu'il n'y en a pas d'autres.
- Victor A. Zalgaller, "Convex Polyhedra with Regular Faces", 1969 : première preuve de cette conjecture.
- Eric W. Weisstein. Johnson Solid : chaque solide avec son patron
Liens externes
- (en) Paper Models of Polyhedra de nombreux liens
- (en) Solides de Johnson par George W. Hart.
- (en) Images des 92 solides, catégorisés, sur une page.
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