Presentation d'un groupe

Présentation d'un groupe

En théorie des groupes, un groupe peut se définir par sa présentation autrement dit la donnée d'un ensemble de générateurs et de relations que ceux-ci doivent vérifier. La possibilité de cette définition découle de ce que tout groupe s'obtient comme quotient d'un groupe libre. En général, la présentation d'un groupe G se note en écrivant entre crochets la liste de lettres et une liste minimale de mots sur cet alphabet, de la forme : G = < a,b,c,d | cbcbcb,cbc ^{− 1}b ^{− 1},b⁹ > Chaque mot est censé valoir 1 dans le groupe ; G est engendré par a, b, c, d ; et aucune autre relation n'existe entre les lettres, hormis celles données dans la présentation. Par exemple, ici, b est d'ordre 9, cb est d'ordre 3, c et b commute dans c est d'ordre 1, 3 ou 9 et en en fait exactement 9.

Introduction informelle

Si un groupe G est engendré par un ensemble S, il est possible d'écrire tout élément de G comme un produit

x₁^a₁ x₂^a₂ ... x_n^a_n

où tous les x_i sont des éléments de S, et chaque a_i un entier relatif. Autrement dit, tout élément du groupe s'écrit comme produit des générateurs et de leurs inverses.

Si G n'est pas un groupe libre, cette écriture n'est bien sûr pas unique. Pour arriver à retrouver le groupe G, il faut préciser lesquels de ces produits sont égaux. Il suffit bien sûr pour cela de spécifier quels produits sont égaux à l'élément neutre du groupe, que l'on notera 1. Il est alors intuitivement clair l'on pourra retrouver le groupe, au moins à isomorphisme près. En fait, il n'est en général pas nécessaire de préciser toutes les relations possibles, puisqu'à partir de certaines relations de bases, on peut en déduire des relations qui en sont les conséquences : par exemple, si s et t sont deux éléments de S, et si on sait que tsts=1, où 1 est l'élément neutre de G, alors on peut en déduire que (st)⁴=1, et ainsi de suite.

On arrive ainsi à la notion intuitive de définition d'un groupe par générateurs et relations, c'est-à-dire par une présentation : il s'agit de spécifier un ensemble de générateurs, le S ci-dessus, et un ensemble R de relations, qui expriment comme des produits d'éléments de S. G est alors le groupe engendré par S, et dont les générateurs vérifient seulement les relations spécifiées par R, ainsi que leurs conséquences.

Avant même de donner une définition plus précise, on peut donner quelques exemples évidents : $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est engendré par un élément, la classe de 1. Si l'on note cet élément a, la seule relation que l'on impose est aⁿ=1.

Un autre exemple assez standard est donné par le groupe diédral D_2m, c'est-à-dire le groupe des isométries d'un polygone régulier à m côtés. Ce groupe est engendré par deux symétries orthogonales s₁ et s₂, la première par rapport à une des droites joignant le centre du polygone à un de ses sommets, et la seconde par rapport à une droite joignant le centre du polygone au milieu d'un des côtés avoisinant ce sommet. Le produit des deux symétries est alors la rotation d'angle 2π / m et est donc d'ordre m. On peut en fait facilement montrer que cette relation suffit à donner une présentation de D_2m.

Définition formelle

Soit S un ensemble et F_S le groupe libre sur cet ensemble.

Soit $R\subset F_S$. Ce sont les relations que l'on veut imposer, et pour cela, on va en fait devoir quotienter F_S par R. Comme R n'est pas forcément un sous-groupe distingué, on va en fait quotienter par le plus petit sous-groupe distingué N contenant R.

On appelle le groupe F_S / N ainsi obtenu le groupe défini par générateurs S et relations R. On le note <S|R>. Cette écriture s'appelle une présentation du groupe. Si G est un groupe quelconque, isomorphe au groupe <S|R>, on dit que G admet <S|R> pour présentation.

Pour faire le lien avec l'introduction informelle ci-dessus, on peut remarquer que les éléments de N sont en fait les "conséquences" des relations R. On peut également remarquer que tout groupe admet une présentation : en effet, tout groupe est quotient d'un groupe libre (par exemple, le groupe libre F_G sur G). Par contre, une présentation n'est évidemment pas unique.

Un groupe est dit finiment généré s'il est généré par un ensemble S fini, et finiment présenté s'il admet une présentation de la forme <S|R>, avec S et R finis. Tout groupe finiment présenté est donc finiment généré, mais la réciproque n'est pas toujours vraie. En fait, un théorème de Bernhard Neumann affirme que les groupes à deux générateurs, à isomorphisme près, sont en nombre indénombrable, alors qu'il est facile de voir que les groupes de présentation finie sont en nombre dénombrable.

Propriété universelle

Le groupe G=<S|R> peut être défini par la propriété universelle suivante : pour tout groupe H, et pour toute application $f\colon S\to H$ telle que les images des éléments de S satisfassent aux relation R (ie, telle que si ${s_1}^{a_1}\dots {s_n}^{a_n} \in R$ alors $f(s_1)^{a_1}\dots f(s_n)^{a_n}=1$), alors il existe un et un unique morphisme de groupe $F\colon G\to H$ tel que F(s)=f(s) pour tout s dans S.

Exemples

• Le groupe libre sur S est le groupe de présentation $<S|\varnothing>$. Par exemple, le groupe $\mathbb Z$ a pour présentation $<a|\varnothing>$.

• Le groupe cyclique à n éléments a pour présentation < a | aⁿ > .

• Le groupe diédral D_2m a pour présentation $<s_1,s_2|s_1^2,s_2^2,(s_1 s_2)^m>$.

• Le groupe symétrique $\mathfrak S _n$ est engendré par les transpositions de la forme s_i = (i,i + 1). Les relations sont alors $s_i^2 = 1$, (s_is_{i + 1})³ = 1, et s_is_j = s_js_i pour j > i + 1. Par exemple, $\mathfrak S _4 \cong {<s_1, s_2, s_3 | s_1^2, s_2^2, s_3^2, (s_1 s_2)^3, (s_2 s_3)^3, (s_1 s_3)^2>}$.

• Les deux derniers exemples sont des cas particuliers de groupes de Coxeter. Ceux-ci sont définis par une présentation, les générateurs sont des s_i et les relations qu'ils vérifient sont de la forme $s_i^2 = 1$ et $(s_is_j)^{m_{ij}}=1$, où les m_ij sont des entiers naturels.

• Dans la présentation de $\mathfrak S _n$, on peut remplacer chaque relation (s_is_{i + 1})³ = 1 par s_is_{i + 1}s_i = s_{i + 1}s_is_{i + 1}. Si de plus, on enlève les relations $s_i^2 =1$, on obtient une présentation du groupe de tresses B_n. Par exemple, $B _4 \cong {<s_1, s_2, s_3 | s_1 s_2 s_1 s_2^{-1} s_1^{-1} s_2^{-1}, s_2 s_3 s_2 s_3^{-1} s_2^{-1} s_3^{-1}, s_1 s_3 s_1^{-1} s_3^{-1}>}$.

• Le groupe $PSL_2(\mathbb Z)$ a pour présentation < s,t | s²,t³ > .

• En topologie algébrique, on obtient souvent des groupes définis par générateurs et relations, lorsque l'on veut calculer le groupe fondamental d'un CW-complexe, grâce au théorème de van Kampen. Par exemple, une présentation du groupe fondamental d'une surface de genre g est $<a_1,b_1,a_2,b_2,\dots,a_g,b_g|[a_1,b_1][a_2,b_2]\dots[a_g,b_g]>$, où [a,b] désigne le commutateur aba ^{− 1}b ^{− 1}. Réciproquement, une présentation d'un groupe G permet de construire un CW-complexe de groupe fondamental G.

• Il existe aussi des groupes qui ne sont définis que par une relation. Par exemple, les groupes de Baumslag-Solitar sont définis par les générateurs a,b et la relation ba^mb ^{− 1} = bⁿ.

Le problème du mot

Le concept de présentation de groupe peut permettre d'effectuer simplement des calculs dans le groupe. Cependant, il faut se rendre compte qu'il a ses limites. Par exemple, il est difficile de savoir a priori si un groupe défini par générateurs et relations est trivial ou non. Le moyen le plus courant pour montrer qu'un groupe défini par présentation n'est pas trivial est de le faire agir sur un ensemble, en utilisant la propriété universelle ci-dessus. Fabriquer cet ensemble n'est pas forcément une question facile...

Plus généralement, dans un groupe de présentation G=<S|R>, il est difficile de savoir si deux mots sur S représentent ou non le même élément dans G. C'est ce qu'on appelle le problème du mot. Il a été montré que, même dans le cas des groupes de présentation finie, c'est en général un problème indécidable : il n'existe pas d'algorithme permettant de décider si deux mots sont égaux ou non.

Par contre, on peut montrer que ce problème admet une solution dans de nombreuses familles de groupes. Parmi les exemples ci-dessus, on pourra citer les groupes abéliens de type fini, les groupes de tresses, les groupes de Coxeter. Les groupes polycycliques, les groupes finiment présentés résiduellement finis. Connaître les groupes qui ont un problème du mot résoluble est un sujet de recherches actuel.

Bibliographie

• (en) Marshall Hall, The theory of groups [détail des éditions]
• Pierre de la Harpe, Topics in Geometric Group Theory, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 2000 (ISBN 0-226-31721-8)

Bibliographie en français

• N.Bourbaki : Algèbre, chapitre 1 : ed. Hermann (1970), Springer-Verlag(2007)
• J. Calais : Théorie des groupes, ed. PUF, ed. Ellipses

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