Primitives généralisées

En mathématiques, la notion de primitive généralisée est une généralisation de la notion de primitive. Dans le cas d'une fonction à intégrer continue, les deux notions se rejoignent.

Définition

Soit I = [a,b] un intervalle compact de $\mathbb{R}$. Soit f une fonction intégrable sur I. Une fonction F définie sur I s'appelle primitive généralisée de f sur I si on a :

$F(v)-F(u) = \int_{u}^{v}f(x)\,dx$

Pour tous réels u,v tels que $a\leq u<v \leq b$.

Dans le cas particulier où la fonction f est continue, la fonction F est une primitive de f.

Primitives à une constante près

La fonction f admet une infinité de primitives généralisées, deux d'entre elles différant d'une constante : Posons $\forall x \in [a,b], \quad g(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$.

La fonction g est bien définie car $\int_{a}^{x}|f(t)|\,dt=\int_{I}\mathbf{1}_{[a,x]}(t)|f(t)|\,dt\leq \int_{I}|f(t)|\,dt<+\infty$

pour $\forall x \in [a,b]$, par hypothèse sur f.

Par la relation de Chasles, on voit aussitôt que g est une primitive généralisée de f. Pour toute constante c, il est évident queg + c est encore une primitive généralisée de f, ce qui montre que f admet une infinité de primitives généralisées.

Soit h la différence entre deux primitives généralisées de f. On a alors h(v) − h(u) = 0 pour tous réels u,v tels que $a\leq u<v \leq b$. On en déduit que h(v) = h(a) pour tout $v\in[a,b]$ et donc que h est une fonction constante

Continuité

Une primitive généralisée de f est nécessairement continue sur I. Il suffit de le prouver pour la fonction g citée précédemment. Soit $x\in I$ et soit $(x_k)_{k\geq 0}$ une suite d'éléments de I convergeant vers x. On a $g(x_k)=\int_{I}\mathbf{1}_{[a,(x_k)]}(t)|f(t)|\,dt$

Vérifions les hypothèses du théorème de convergence dominée. On a d'abord $\forall k \in \mathbf{N} \forall t \in I$ $|\mathbf{1}_{[a,(x_k)]}(t)|f(t)|\leq |f(t)|$ et par hypothèse, la fonction | f | est intégrable surI. On a ensuite $\lim_{k \rightarrow + \infty} \mathbf{1}_{[a,(x_k)]}(t) = \mathbf{1}_{[a,x]}(t)$ pour tout t $\neq$ x, autrement dit presque partout. Par le théorème de convergence dominée, on conclut que la suite $(g(x_k))_{k\geq 0}$ converge vers g(x).

Intégration par parties

Soient f, g deux fonctions intégrables sur I. Soient F et G des primitives généralisées de f et g respectivement. À l’aide du théorème de Fubini, on peut établir la formule d’ intégration par parties suivantes :

$\int_{a}^{b}f(x)G(x)\,dx$ = $F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{a}^{b}F(x)g(x)\,dx$.

Considérons la fonction $(x,t)\mapsto f(x)g(t)\mathbf{1}_{[a,x]}(t)$ Elle est intégrable sur $I\times I$ car, par "Fubini positif",

$\int_{I\times I}|f(x)g(t)\mathbf{1}_{[a,x]}(t)|\,dxdt$$\leq$$\int_{I\times I}|f(x)g(t)|\,dxdt$=$(\int_{I}|f(x)|\,dx)(\int_{I}|g(t)|\,dt)$$<+\infty$

En appliquant le théorème de Fubini à notre fonction intégrable, on obtient

$(\int_{a}^{b}f(x)( \int_{a}^{x}g(t)\,dt) \,dx)$=$(\int_{a}^{b}g(t)( \int_{b}^{t}f(x)\,dx) \,dt)$, autrement dit :

$\int_{a}^{b}f(x)(G(x)-G(a))\,dx$=$\int_{a}^{b}g(t)(F(b)-F(t))\,dt$

En développant on obtient l'égalité souhaitée.