Principe de l'Argument

Principe de l'argument

En analyse complexe, le principe de l'argument (parfois appelé Théorème de l'argument^[1]) indique que si f est une fonction méromorphe sur un ouvert $U \subset \mathbb C$ simplement connexe dont l'ensemble F des zéros et des pôles est fini, alors pour tout lacet γ à image dans U\F,

${1\over 2i\pi}\int_\gamma {f'(z)\over f(z)}dz = \sum_{z_j\in F} v_{z_j}(f)\mathrm{Ind}_{\gamma}(z_j)$

Un lacet simple et positivement orienté C (en noir), les zéros de f (en bleu) et les poles de f (en rouge).

Avec $v_{z_j}(f)$ la valuation de f en z_j c'est à dire l'ordre du z_j si z_j est un zéro et moins l'ordre de z_j si c'est un pôle. Ind_γ(z_j) est l'indice du point par rapport au lacet.

Si γ est un lacet simple positivement orienté formant le bord $\partial K$d'un compact K, la relation ci-dessus se réécrit :

${1\over 2i\pi}\int_\gamma {f'(z)\over f(z)}dz = Z_{f,K} - P_{f, K}$

où Z_f,K et P_f,K représentent respectivement le nombre de zéros et de pôles de f dans K comptés avec leur multiplicité.

Interprétation géométrique

Le principe de l'argument permet de compter le nombre de tour que fait l'image de γ par f autour de l'origine. C'est sur cette notion que se base notamment la démonstration du Théorème de Rouché.

Figure 1: Premier cas pour la fonction ${z+1\over z^3}$. En bleu le lacet C(0,r) avec r < 1, en rouge l'image de ce lacet par la fonction. On s'aperçoit que cette dernière effectue trois tours autour de l'origine (dans le sens anti-trigonométrique).

Figure 2: Second cas pour la fonction ${z+1\over z^3}$. En bleu le lacet C(0,r) avec r > 1, en rouge l'image de ce lacet par la fonction. On s'aperçoit que cette dernière effectue deux tours autour de l'origine (dans le sens anti-trigonométrique).

Exemples

Soit la fonction $f : \mathbb C \to \mathbb C$ ayant deux zéros simples en $z_{1,2}=\pm i$ (la valuation de ces deux points est +1) et définie par :

$\displaystyle{ f(z) = z^2+1 }$

Considérons le lacet le plus simple : le cercle C(0,r) centré à l'origine et de rayon $r \ge 0$, il y a deux cas à considérer :

• Tout d'abord si r < 1, alors l'indice des deux zéros est nul et l'image du lacet par f ne tourne pas autour de l'origine.

• L'autre cas est : $r \ge 1$, alors l'indice des deux zéros est égal à 1 et l'image du lacet par f tourne deux fois autour de l'origine en effet :

$v_{z_1}(f)\mathrm{Ind}_{C(0,r)}(z_1) + v_{z_2}(f)\mathrm{Ind}_{C(0,r)}(z_2) = 2$

Considérons à présent la fonction $g : \mathbb C \to \mathbb C$ ayant un pôle triple à l'origine et un zéro simple en z₂ = − 1 (la valuation de ces deux points est respectivement -3 et +1) et définie par :

$\displaystyle { g(z) = {z+1\over z^3} }$

En considérant comme ci-dessus le cercle C(0,r), nous avons à nouveau deux cas à considérer :

• Si r < 1, alors l'indice du zéro simple est nul, et il ne reste que le pôle triple à considérer, l'image du lacet par la fonction g tourne -trois fois (trois fois dans le sens anti-trigonométrique) autour de l'origine.

• Si $r \ge 1$, on doit considérer le zéro et le pôle et donc l'image du lacet par la fonction g tourne -deux fois autour de l'origine.

Ces deux cas sont illustrés par les figures 1 et 2 ci-contre.

Preuve

Par hypothèse, $f(z) \neq 0$ et f est holomorphe sur U\F et donc la $\mathbb C$-dérivée f' l'est aussi. Par conséquent, nous pouvons en déduire que f'/f est aussi holomorphe sur U\F.

U est simplement connexe donc le lacet γ est homotope à un point dans U, on peut donc appliquer le Théorème des résidus :

${1\over 2\pi i} \int_{\gamma} {f'(z)\over f(z)} dz = \sum_{z_j\in F} \mathrm{Res}\left( {f'\over f}, z_j\right)\mathrm{Ind}_{\gamma} (z_j)$

Pour $z_j \in F$, on a, au voisinage de z_j :

$f(z) = (z-z_j)^{n_j} g(z)$

avec g(z) holomorphe et non nulle sur un voisinage de z_j et $n_j \in \mathbb Z$ qui correspond à la valuation de z_j.

On a donc :

$f'(z) = n_j (z-z_j)^{n_j-1} g(z) + (z-z_j)^{n_j} g'(z)$

dont on tire :

${f'(z)\over f(z)} = {n_j\over (z-z_j)} + {g'(z)\over g(z)}$

Le quotient ci-dessus a un pôle simple en z_j puisque g est holomorphe et non nulle au voisinage de z_j. On peut maintenant calculer le résidu en z_j :

$\mathrm{Res} \left( {f'\over f}, z_j \right) = \lim_{z\to z_j}\left( (z-z_j){f'(z)\over f(z)} \right) = n_j$

Avec $n_j = v_{z_j}(f)$. En insérant ce dernier résultat dans la première équation, nous obtenons finalement :

${1\over 2i\pi}\int_\gamma {f'(z)\over f(z)}dz = \sum_{z_j\in F} v_{z_j}(f)\mathrm{Ind}_{\gamma}(z_j)$

Applications

Des ouvrages d'Automatique utilisent assez fréquemment ce principe comme base théorique pour le critère de stabilité de Nyquist. La thèse originale de 1932 de Harry Nyquist^[2] fait usage d'une approche plutôt maladroite et primitive pour développer le critère de stabilité. Dans sa thése, H. Nyquist ne mentionnait pas le principe de l'argument. Par après, Leroy MacColl^[3] et Hendrik Bode^[4] sont partis du principe de l'argument pour déterminer le critère de stabilité, approche qui est utilisée actuellement dans bon nombre d'ouvrage d'analyse complexe ou d'automatique

Références

1. ↑ Murray R. SPIEGEL, Variables Complexes, Schaum, ISBN 2-7042-0020-3
2. ↑ H. NYQUIST, Regeneration theory, Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932
3. ↑ Leroy MACCOLL, Fundamental theory of servomechanisms, 1945
4. ↑ Hendrik BODE, Network analysis and feedback amplifier design, 1945

Voir Aussi

• Théorème de Rouché

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