Principe de standardisation

En analyse non standard, le principe de standardisation permet de construire des ensembles standards à partir de prédicats externes.

Énoncé

Si A est un ensemble standard et p(x) est un prédicat dépendant d'une variable x dans A, on est en droit de considérer :

$B=\{x\in A,p(x)\}$

Malheureusement B n'est pas en général un ensemble standard. Le principe de standardisation affirme l'existence d'un ensemble standard St(B) appelé standardisé de B dont la collection des éléments standards est exactement la collection des éléments standards de B.

Par le principe d'extensionnalité non standard, cet ensemble standard St(B) est uniquement défini et est nécessairement une partie de A.

Il n'existe aucune relation d'inclusion entre B et St(B).

Standardisation d'une application

Si A et B sont des ensembles standards et $f:A\rightarrow B$ une application non standard, il existe une unique application standard $g:A\rightarrow B$ coïncidant avec f sur tous les éléments standards de A.