Problèmes de Hilbert

Lors du deuxième congrès international des mathématiciens tenu à Paris en 1900, David Hilbert présenta une liste de problèmes qui tenaient jusqu'alors les mathématiciens en échec. Ces problèmes devaient, selon Hilbert, marquer le cours des mathématiques du XX^e siècle, et l'on peut dire aujourd'hui que cela a été grandement le cas. La liste définitive fut publiée après la tenue du congrès et est aujourd'hui familièrement appelée problèmes de Hilbert.

Les sections suivantes présentent brièvement chaque problème.

Les 23 problèmes de Hilbert

Problème	Description	Résolution	Année de résolution
Premier	Tout sous-ensemble infini des réels peut être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels ou avec l'ensemble des réels lui-même.	Prouvé indécidable (ni sa vérité ni sa fausseté ne peuvent être prouvés) dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, avec ou sans l'axiome du choix. Il n'y a pas de consensus sur le fait que ce résultat apporte une solution au problème.	1963
Deuxième	Peut-on prouver la cohérence de l'arithmétique ? En d'autres termes, peut-on démontrer que les axiomes de l'arithmétique ne sont pas contradictoires ?	Il n'existe pas de consensus sur le fait que les résultats de Gödel et Gentzen apportent une solution au problème tel que formulé par Hilbert. Le théorème d'incomplétude de Gödel, prouvé en 1931, montre qu'aucune preuve de la cohérence ne peut être apportée en utilisant les outils de l'arithmétique. Getzen montra en 1936 que la cohérence de l'arithmétique dérive du fait que le nombre transfini ε0 est défini à partir d'une récurrence bien fondée.	1936?
Troisième	Étant donnés deux polyèdres d'égal volume, peut-on découper le premier polyèdre en des polyèdres et les rassembler pour former le second polyèdre ?	Résolu. Résultat: non, prouvé en utilisant les invariants de Dehn.	1900
Quatrième	Définir toutes les géométries dont la plus courte distance entre deux points est un segment de droite.	Trop vague pour être déterminé résolu ou non.[n 1]	–
Cinquième	Démontrer que les groupes de Lie sont nécessairement différentiables.	Résolu par Andrew Gleason, selon une certaine interprétation donnée à la formulation. Si, toutefois, il peut être interprété comme conjecture de Hilbert–Smith, il n'est toujours pas résolu.	1953?
Sixième	Axiomatisation, fondée sur le modèle mathématique, de la physique	Non résolu.	–
Septième	Démontrer la transcendance des nombres ab, avec a algébrique différent de 0 et 1, et b algébrique irrationnel (par exemple $2^{\sqrt{2}})$.	Résolu. Résultat : démontré, par le Théorème de Gelfond-Schneider.	1935
Huitième	Démontrer l'hypothèse de Riemann.	Non résolu.	–
Neuvième	Établir une loi de réciprocité dans les corps de nombres algébriques.	Partiellement résolu. Il est résolu dans le cas abelien, par le développement de la théorie des corps de classes. Si on interprète le problème comme suffisamment vaste pour intégrer les cas non abéliens, alors il reste non résolu.	–
Dixième	Trouver un algorithme déterminant si une équation diophantienne a des solutions.	Résolu. Résultat: impossible, le théorème de Matiyasevich implique qu'il n'existe pas de tel algorithme.	1970
Onzième	Classer les formes quadratiques à coefficients dans les anneaux d'entiers algébriques.	Presque résolu[réf. souhaitée] par le principe local-global de Hasse.	–
Douzième	Prolonger le théorème de Kronecker à tous les corps de nombres.	Non résolu.	–
Treizième	Montrer l'impossibilité de résoudre les équations du septième degré au moyen de fonctions de seulement deux variables.	Résolu. Démontré par Vladimir Arnold en 1957, d'après les travaux de Andrei Kolmogorov.	1957
Quatorzième	Prouver le caractère fini de certains systèmes complets des fonctions.	Résolu. Résultat: faux, contre-exemple construit par Masayoshi Nagata.	1959
Quinzième	Mettre en place les bases du calcul énumératif de Hermann Schubert.	Partiellement résolu.[réf. souhaitée]	–
Seizième	Décrire les positions relatives des branches de courbes algébriques réelles et des cycles limites d'un champ de vecteurs à deux dimensions.	Non résolu.	–
Dix-septième	Montrer qu'une fonction rationnelle positive peut s'écrire sous la forme de somme de carrés de fonctions rationnelles.	Résolu. Résultat: Oui. Résolu par Emil Artin en 1927. Une démonstration par la théorie des modèles a été trouvée par le logicien Abraham Robinson.	1927
Dix-huitième	(a) Existe-t-il un polyèdre acceptant seulement un pavage non-isoédrique en trois dimensions ? (b) Quel est l'empilement compact de sphère le plus dense ?	(a) Résolu. Résultat: oui (par Karl Reinhardt). (b) Résolu par assistant de preuve informatique. Résultat: empilement cubique et hexagonal, qui ont une densité d'à peu près 74%.	(a) 1928 (b) 1998
Dix-neuvième	Prouver que le calcul des variations est toujours nécessairement analytique.	Résolu. Resultat: oui, prouvé par Ennio de Giorgi et, indépendamment et par d'autres méthodes, par John Forbes Nash[réf. nécessaire].	1957
Vingtième	Tous les calculs des variations avec certaines conditions aux limites ont-elles des solutions ?	Résolu. Un sujet important de recherche durant tout le XXe siècle, incluant des solutions pour les cas non linéaires.	–
Vingt-et-unième	Prouver que toute représentation complexe de dimension finie peut s'obtenir par action de monodromie sur une équation différentielle de Fuchs.	Résolu. Résultat: oui ou non, selon les formulations plus exactes du problème.[réf. souhaitée]. Résolu par Helmut Rörl en 1957 pour la formulation la plus commune.	1957
Vingt-deuxième	Uniformiser des courbes analytiques au moyen de fonctions automorphes.	Résolu par Koebe et Henri Poincaré en 1907.	1907
Vingt-troisième	Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations.	Non résolu.	–

Description détaillée

Premier problème

Article détaillé : Hypothèse du continu.

Tout sous-ensemble infini des réels peut être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels ou avec l'ensemble des réels lui-même.

Il s'agit de l'hypothèse du continu de Cantor. Ce résultat aurait eu pour conséquence que le cardinal infini qui suit immédiatement le dénombrable, est celui du continu.

Kurt Gödel a montré en 1938 que l'on ne pouvait pas démontrer la négation de l'hypothèse du continu dans la théorie des ensembles ZFC, et Paul Cohen en 1963 que l'on ne pouvait pas non plus la démontrer (dans cette même théorie) : on dit que cette conjecture est indécidable dans la théorie ZFC (ou indépendante de celle-ci).

Comme on considère que la théorie ZFC permet largement de formaliser le développement des mathématiques jusqu'à aujourd'hui, la question peut paraître réglée. Cependant, l'existence d'axiomes supplémentaires « naturels » qui s'ajouteraient à la théorie ZFC et pourraient décider l'hypothèse du continu reste un domaine de recherche.

Deuxième problème

Article détaillé : Deuxième problème de Hilbert.

Peut-on prouver la cohérence de l'arithmétique ? En d'autres termes, peut-on démontrer que les axiomes de l'arithmétique ne sont pas contradictoires ?

Gödel montra en 1931, via son théorème d'incomplétude, que cela ne pouvait être démontré sans sortir de l'arithmétique. Gerhard Gentzen, cependant, donna, en 1936, une réponse affirmative au moyen d'une récurrence transfinie.

Troisième problème

Article détaillé : Troisième problème de Hilbert.

Étant donnés deux polyèdres d'égal volume, peut-on découper le premier polyèdre en des polyèdres et les rassembler pour former le second polyèdre ?

Max Dehn, élève de Hilbert, montra que non, en 1902, en démontrant qu'il était impossible de diviser un cube et un tétraèdre régulier de même volume en un nombre fini de polyèdres deux à deux identiques. Malgré tout, le paradoxe de Banach-Tarski constitue un résultat positif pour cette question si l'on n'exige pas que les morceaux intermédiaires soient des polyèdres et surtout si l'on suppose l'axiome du choix.

Quatrième problème

Article détaillé : Quatrième problème de Hilbert.

Définir toutes les géométries dont la plus courte distance entre deux points est un segment de droite.

La géométrie différentielle a permis de répondre en partie à ce problème, bien que l'on ne puisse pas à proprement parler de réponse ferme.

Cinquième problème

Article détaillé : Cinquième problème de Hilbert (en)

Démontrer que les groupes de Lie sont nécessairement différentiables.

Le théorème de Gleason (en)-Montgomery (de)-Zippin (en) en 1953 y répond par l'affirmative.

Sixième problème

Article détaillé : Sixième problème de Hilbert.

L'axiomatisation, fondée sur le modèle mathématique, de la physique.

Du fait de l'apparition de la théorie de la relativité et de la mécanique quantique, le problème fut vite obsolète. Malgré tout, la physique théorique et les mathématiques ne cessent de se rapprocher. En axiomatisant la théorie des probabilités, Kolmogorov a résolu en partie ce problème.

Septième problème

Article détaillé : Septième problème de Hilbert.

Démontrer la transcendance des nombres a^b, avec a algébrique différent de 0 et 1, et b algébrique irrationnel (par exemple $2^{\sqrt{2}})$.

Les travaux de Gelfond et de Schneider ont permis de résoudre ce problème (voir Théorème de Gelfond-Schneider). Ce résultat a été généralisé par Baker (voir Théorème de Baker).

Huitième problème

Article détaillé : Hypothèse de Riemann.

Démontrer l'hypothèse de Riemann.

Malgré les progrès faits notamment par Deligne qui démontra les conjectures de Weil, et reçut pour cela la médaille Fields en 1978, on est encore loin d'avoir résolu ce problème, qui s'annonce comme celui du XXI^e siècle.

Neuvième problème

Article détaillé : Neuvième problème de Hilbert.

Établir une loi de réciprocité dans les corps de nombres algébriques.

Une réponse à ce problème est apportée par la loi de réciprocité d'Artin, démontrée par celui-ci en 1927.Ce théorème enrichit la connaissance de la théorie des corps de classes, dont le développement fut facilité par l'introduction des idèles par Chevalley en 1936.

Dixième problème

Article détaillé : Dixième problème de Hilbert.

Trouver un algorithme déterminant si une équation diophantienne a des solutions.

Il fallut attendre les travaux de Church et Turing en 1930 pour définir rigoureusement la notion d'algorithme. En 1970, Yuri Matijasevic, établissant une équivalence entre les ensembles récursivement énumérables et les ensembles diophantiens, a établi qu'un tel algorithme ne pouvait pas exister.

Onzième problème

Article détaillé : Onzième problème de Hilbert.

Classer les formes quadratiques à coefficients dans les anneaux d'entiers algébriques.

Le théorème de Hasse-Minkowski résout le problème sur $\mathbb Q$, et Siegel le résolut sur d'autres anneaux intègres.

Douzième problème

Article détaillé : Douzième problème de Hilbert.

Prolonger le théorème de Kronecker à tous les corps de nombres.

Treizième problème

Article détaillé : Treizième problème de Hilbert.

Montrer l'impossibilité de résoudre les équations du septième degré au moyen de fonctions de seulement deux variables.

Plus généralement, il s'agit d'étudier les fonctions continues (et, en fait, les fonctions continues de trois variables) qui ne peuvent pas s'exprimer par composition à partir de fonctions continues de deux variables. En 1954, Kolmogorov et son élève Vladimir Arnold ont montré que cette classe était vide : il existe n(2n + 1) fonctions continues universelles Φ_ij (de [0;1] dans [0;1]) telles que pour toute fonction continue $f:[0;1]^n \to [0;1]$, il existe 2n + 1 fonctions continues $g_j :[0;1] \to [0;1]$ telles que $f(x_1 , \dots, x_n) = \sum_{j=1}^{2n+1} g_j \left( \sum_{i=1}^n \Phi_{ij} (x_i)\right)$. En revanche, la question de la résolubilité de l'équation du septième degré par des fonctions analytiques de deux variables est encore ouverte.

Quatorzième problème

Article détaillé : Quatorzième problème de Hilbert.

Prouver le caractère fini de certains systèmes complets des fonctions.

Le problème est le suivant : on considère un corps k et un sous-corps K de $E = k(X_1, \dots, X_n)$ ; on pose $R = k[X_1 , \dots, X_n ]$ ; l'anneau $K \cup R$ est-il une k-algèbre de type fini ? La réponse est négative, comme l'a montré Zariski (qui donna l'interprétation géométrique suivante : il existe une variété projective X de corps des fonctions K et un diviseur effectif D sur X tel que $K \cup R$ soit l'ensemble des fonctions de K n'ayant de pôles que sur R). Cependant, la recherche de conditions suffisantes pour la validité du résultat d'Hilbert a été source d'idées très fécondes en géométrie.

Nagata donna en 1959 un contre-exemple qui montra la fausseté de la conjecture.

Quinzième problème

Article détaillé : Quinzième problème de Hilbert.

Mettre en place les bases du calcul énumératif de Hermann Schubert.

Il s'agit là de rendre rigoureux certains calculs sur les objets « en position générale » en théorie de l'intersection, et en particulier le « principe de conservation des nombres ». Ce problème a donné naissance aux théories de la multiplicité de Samuel et Grothendieck.

Résolu par van der Waerden en 1930^{[réf. souhaitée]}.

Seizième problème

Article détaillé : Seizième problème de Hilbert.

Ce problème comporte deux parties. La première concerne le nombre de branches réelles (ovales) d'une courbe algébrique, et leur disposition ; de nombreux résultats modernes (Petrovskii, Thom, Arnold) apportent des informations à leur sujet.

La seconde partie du problème pose la question du nombre maximal et de la position mutuelle des cycles limites de Poincaré (orbites périodiques isolées) pour une équation différentielle polynomiale plane de degré donné ; cette question est encore ouverte.

Dix-septième problème

Article détaillé : Dix-septième problème de Hilbert.

Montrer qu'une fonction rationnelle positive peut s'écrire sous la forme de somme de carrés de fonctions rationnelles.

Résolu par Emil Artin en 1927. Une démonstration par la théorie des modèles a été trouvée par le logicien Abraham Robinson.

Dix-huitième problème

Article détaillé : Dix-huitième problème de Hilbert.

Construire un espace euclidien avec des polyèdres congruents.

Le problème comporte trois parties :

• premièrement, montrer qu'il n'existe à isomorphisme près qu'un nombre fini de groupes discrets d'isométries de $\mathbb R^n$ admettant un domaine fondamental compact ; cette question fut résolue par Ludwig Bieberbach en 1910 ;
• deuxièmement, la question de l'existence de polyèdres qui ne sont pas des groupes fondamentaux, mais qui peuvent cependant paver l'espace ; de tels polyèdres furent construits par Reinhardt et Heesch dans les années 1930 ;
• troisièmement, ce problème comporte aussi la fameuse conjecture de Kepler sur l'empilement des sphères dans l'espace, résolue en 1998 par Thomas Hales.

Dix-neuvième problème

Article détaillé : Dix-neuvième problème de Hilbert.

Prouver que le calcul des variations est toujours nécessairement analytique.

Résolu par Bernstein et Radó en 1929^{[réf. nécessaire]}.

Vingtième problème

Article détaillé : Vingtième problème de Hilbert.

Étudier la solution générale des problèmes de valeur limite.

Vingt-et-unième problème

Article détaillé : Vingt-et-unième problème de Hilbert.

Prouver que toute représentation complexe de dimension finie peut s'obtenir par action de monodromie sur une équation différentielle de Fuchs.

Résolu par Helmut Rörl en 1957.

Vingt-deuxième problème

Article détaillé : Vingt-deuxième problème de Hilbert.

Uniformiser des courbes analytiques au moyen de fonctions automorphes.

Résolu par Koebe et Henri Poincaré en 1907.

Vingt-troisième problème

Article détaillé : Vingt-troisième problème de Hilbert.

Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations.

Notes

1. ↑ Selon Gray, la plupart des problèmes de Hilbert sont résolus. Certains ne sont pas complètement bien définis, mais suffisamment de progrès ont été fait pour pouvoir les considérer comme "résolu". Cependant, Gray qualifie le quatrième problème comme étant trop vague pour pouvoir établir s'il est résolu ou non.

Voir aussi

• David Hilbert
• Congrès international des mathématiciens
• Problèmes du prix du millénaire
• Problèmes de Smale
• Problèmes de Landau
• Problèmes non résolus en mathématiques

Bibliographie

• (de)le texte de la conférence de Hilbert en 1900
• (en)une traduction en anglais du précédent