Problèmes du prix du millénaire

Les problèmes du prix du millénaire comptent sept défis mathématiques réputés insurmontables posés par le Clay Mathematical Institute en 2000. La résolution de chacun des problèmes est dotée d'un prix d'un million de dollars américains offert par l'institut. À ce jour, six des sept problèmes demeurent non résolus.

Description

Chacun des défis consiste à :

• soit démontrer une hypothèse ou une conjecture qui n'a été ni confirmée ni rejetée faute d'une démonstration mathématique suffisamment rigoureuse ;
• soit définir et expliciter l'ensemble des solutions de certaines équations.

Chacune de ces solutions permettra de solidifier les bases théoriques dans certains domaines des mathématiques dits fondamentaux, et constituera un important tremplin qui servira à approfondir les connaissances en mathématiques fondamentales.

Si la solution proposée par publication pour résoudre l'un de ces problèmes est largement acceptée par la communauté des mathématiciens au bout de deux ans, alors le Clay Mathematical Institute remettra un million de dollars américains à la personne ou au groupe qui l'aura formulée.

Le premier de ces problèmes fait partie des problèmes de Hilbert non résolus.

Histoire

Au début du XX^e siècle, le mathématicien David Hilbert dressa une liste de 23 problèmes (l'hypothèse de Riemann, par exemple) dont la résolution serait d'un grand intérêt pour faire progresser les mathématiques. Dans ce même esprit, le Clay Mathematical Institute, à la fin du XX^e siècle, a décidé d'attribuer un prix d'un million de dollars américains à qui trouverait une solution satisfaisante à l'un des 7 problèmes posés.

À ce jour, le seul des sept problèmes qui ait été résolu est la conjecture de Poincaré, démontrée par Grigori Perelman (cf. infra).

Impact médiatique

L'écho auprès des médias a été important, bien que les primes annoncées par le Clay Mathematical Institute ne représentent pas en réalité des montants si spectaculaires (l'ordre de grandeur des salaires^[1] des professeurs titulaires de chaires de mathématiques au sein des universités américaines importantes est au minimum de 130 000 dollars américains, donc la prime ne représente pas beaucoup plus de cinq et moins de dix années de revenus). Au sein de la communauté mathématique, l'unanimité ne s'est pas faite pour approuver l'existence de ces primes^[2].

Liste des problèmes

Hypothèse de Riemann

Article détaillé : Hypothèse de Riemann.

Conjecture de Poincaré

Article détaillé : Conjecture de Poincaré.

Grigori Perelman a démontré cette conjecture en 2003, et sa démonstration a été récompensée par l'attribution de la médaille Fields en 2006. Mais il l'a déclinée. En ce qui concerne le prix Clay, bien que ses articles n'aient pas été publiés dans des revues à comité de lecture, mais sur arXiv, un répertoire (partiellement) modéré dédié à l'archivage de prépublications principalement de physique et de mathématiques, l'Institut Clay a néanmoins annoncé le 18 mars 2010 lui avoir décerné ce prix, considérant que les conditions de la validation de son travail avaient été réunies^[3],[4]. Le 1^er juillet 2010 l'Institut Clay a annoncé sur son site que Grigori Perelman l'avait informé refuser le prix. Parmi les raisons sous-jacentes à son choix, qu'il a dit être multiples, il a souhaité mettre en avant que son refus devait être vu comme une dénonciation de l'attitude de la communauté mathématique dans sa façon, qu'il considère injuste, d'attribuer ce type de récompense (selon ses propos rapportés par des médias russes. Il aurait en particulier indiqué qu'à ses yeux les contributions de Richard Hamilton étaient du même niveau d'importance que les siennes).

Problème ouvert P = NP

Article détaillé : Problème P = NP.

Savoir si P = NP est un des principaux problèmes ouverts de l'informatique théorique. Le mathématicien et vulgarisateur Keith Devlin (en) le décrit comme le seul problème de la liste potentiellement accessible aux non-spécialistes, dans la mesure où sa description est accessible et une idée simple pourrait suffire à le résoudre^[5].

Conjecture de Hodge

Article détaillé : Conjecture de Hodge.

Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

Article détaillé : Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.

Équations de Navier-Stokes

Article détaillé : Équations de Navier-Stokes.

Ces équations sont fondamentales pour expliquer le comportement des fluides. Il existe des solutions partielles, mais aucune solution générale n'est encore proposée.

Équations de Yang-Mills

Article détaillé : Équations de Yang-Mills.

Voir aussi

• Problèmes de Hilbert
• Problèmes de Smale
• Trois grands problèmes de l'Antiquité
• Problèmes de Landau
• Problèmes non résolus en mathématiques

Liens externes

• (en) Problèmes du millénaire

Notes et références

1. ↑ (en) (lien externe) Tables des salaires dressées par la société des mathématiciens américains
2. ↑ (en) (liens externes) Le numéro de janvier 2007 de la revue Notices de l'association des Mathématiciens américains contenant l'article What is good for mathematics? Thoughts on the Clay Millennium Prizes du mathématicien russe Anatoly Vershik (en). Liens directs : 1 ou 1bis
3. ↑ (fr) « Maths : un Russe récompensé pour la conjecture de Poincaré », dépêche AFP, 18 mars 2010.
4. ↑ (en) Communiqué de presse de l'institut de mathématiques Clay
5. ↑ Keith Devlin (trad. Céline Laroche), Les énigmes mathématiques du 3^ème millénaire : Les 7 grands problèmes non résolus à ce jour [« The Millennium Problems: the Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time »], Le Pommier, 2005 (1^re éd. 2002) (ISBN 2-7465-0163-5), p. 161