Processus autorégressif

Un processus autorégressif est un modèle de régression pour séries temporelles dans lequel la série est expliquée par ses valeurs passées plutôt que par d'autres variables.

Définition

Un processus autorégressif d'ordre p, noté AR(p) est donné par:

Définition — AR(p): $X_t = c + \varphi_1 X_{t-1}+\varphi_2 X_{t-2}+\ldots+\varphi_p X_{t-p} + \varepsilon_t .\,$

où $\varphi_1, \ldots, \varphi_p$ sont les paramètres du modèle, c est une constante et ε_t un bruit blanc.

En utilisant L l'opérateur des retards, on peut l'écrire: $(1- \varphi_1 L-\varphi_2 L^2-\ldots-\varphi_p L^p)X_t=c+ \varepsilon_t .\,$

Processus AR(1)

Un processus autorégressif d'ordre 1 s'écrit:

$X_t = c + \varphi X_{t-1}+ \varepsilon_t .\,$

Représentation en moyenne mobile

On peut formuler le processus AR(1) de manière récursive par rapport aux conditions précédentes:

$X_t=c\sum_{k=0}^{N-1}\varphi^k+\varphi^NX_{t-N}+\sum_{k=0}^{N-1}\varphi^k\varepsilon_{t-k}.$

En remontant aux valeurs initiales, on aboutit à:

Propriété — $X_t=c\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i+\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i\varepsilon_{t-i}$

Démonstration

$\begin{align} X_t &=c+ \varphi X_{t-1}+\varepsilon_t=c + \varphi(c+\varphi X_{t-2}+\varepsilon_{t-1})+\varepsilon_t \\ &= (1+\varphi)c + \varphi^2 X_{t-2} + \varepsilon_t +\varphi \varepsilon_{t-1}\\ &=\ldots\\ &= (1+\varphi+\varphi^2+\varphi^3+\ldots)c + \varepsilon_t +\varphi \varepsilon_{t-1}+\varphi^2 \varepsilon_{t-2}+\varphi^3 \varepsilon_{t-3}+\ldots\\ &=c\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i+\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i\varepsilon_{t-i} \end{align}$

Il est à noter que les sommes vont ici jusqu'à l'infini. Cela est dû au fait que les séries temporelles sont souvent supposées commencer depuis $t_0=-\infty$ et non pas t₀ = 0. Certains auteurs considèrent cependant que la série commence en t₀ = 0 et ajoutent alors la valeur initiale X₀ dans la formule.

On peut voir que X_t est le bruit blanc convolé avec le noyau φ^k plus une moyenne constante. Si le bruit blanc est gaussien, alors X_t est aussi un processus normal.

Représentation dans le domaine de la fréquence

La Densité spectrale de puissance est la Transformée de Fourier de la fonction d'autocovariance. Dans le cas discret, cela s'écrit:

$\Phi(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\sum_{n=-\infty}^\infty B_n e^{-i\omega n} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\left(\frac{\sigma^2}{1+\varphi^2-2\varphi\cos(\omega)}\right).$

Ce développement est périodique dû à la présence du terme en cosinus au dénominateur. En supposant que le temps d'échantillonnage (Δt = 1) est plus petit que le decay time (τ), alors on peut utiliser une approximation continue de B_n:

$B(t)\approx \frac{\sigma^2}{1-\varphi^2}\,\,\varphi^{|t|}$

qui présente une forme lorentzienne pour la densité spectrale:

$\Phi(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\frac{\sigma^2}{1-\varphi^2}\,\frac{\gamma}{\pi(\gamma^2+\omega^2)}$

où γ = 1 / τ est la fréquence angulaire associée à τ.

Moments d'un processus AR(1)

Pour calculer les différents moments d'un processus AR(1), soit son espérance, sa variance, son autocovariance et son autocorrélation, on va supposer que les bruits blancs sont indépendamment et identiquement distribués, d'espérance nulle et de variance σ² (que l'on note ε_i∼iid(0,σ²)).

Espérance

$\operatorname{E}[X_t]=\varphi^t X_0 + c\sum_{i=0}^{t-1}\varphi^i\,$

Démonstration par raisonnement par récurrence

• P(0) (initialisation): $\operatorname{E}[X_0] = X_0\,$, parce que X₀ est deterministique. L'expression est:

$\varphi^0 X_0 + c \sum_{i=0}^{-1}\varphi^i = 1 X_0 + 0 = X_0\,$

• P(t+1) (hérédité ):

$\operatorname{E}[X_{t+1}]= \operatorname{E}[c + \varphi X_t + \epsilon_t]\,$

Comme E est un opérateur linéaire:

$\operatorname{E}[X_{t+1}]= c + \varphi \operatorname{E}[X_t]\,$

Avec l'hypothèse d'induction:

$\operatorname{E}[X_{t+1}]=c + \varphi (\varphi^t X_0 + c \sum_{i=0}^{t-1}\varphi^i)\,$

$\operatorname{E}[X_{t+1}]=c + \varphi^{t+1} X_0 + c \sum_{i=0}^{t-1}\varphi^{i+1}\,$

Par un changement de variables dans la somme, i → i-1:

$\operatorname{E}[X_{t+1}]= \varphi^{t+1} X_0 + c + c \sum_{i=1}^{t}\varphi^i\,$

Et, avec $c = c \sum_{i=0}^{0} \varphi^i\,$:

$\operatorname{E}[X_{t+1}]= \varphi^{t+1} X_0 + c \sum_{i=0}^{t}\varphi^i\,$

Variance

$\operatorname{Var}[X_t]= \sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\sigma^2$

Preuve

$\begin{align}\operatorname{Var}[X_t] &=\operatorname{E}\left [(X_t-\operatorname{E}[X_t])^2)\right ]\\ &=\operatorname{E}\left [(c\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i+\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i\varepsilon_{t-i}-c\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i)^2 \right ] \text{Selon resultat obtenu plus haut}\\ &=\operatorname{E} [(\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i\varepsilon_{t-i})^2 ]\\ &=\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i} \operatorname{E} [(\varepsilon_{t-i})^2 ]\quad \text{car }\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}\\ &=\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i} \operatorname{Var} [\varepsilon_{t-i} ] \quad \text{car } \operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}(X^2)-\operatorname{E}(X)^2 \quad \text{et } \operatorname{E}(X)=0 \quad \text{par hypothese}\\ &=\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\sigma^2 \end{align}$

Autocovariance

$\operatorname{Cov}[X_t,X_{t-j}]= \varphi^{j}\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\sigma^2$

Preuve

$\begin{align}\operatorname{Cov}[X_t,X_{t-j}] &=\operatorname{E}\left [(X_t-\operatorname{E}[X_t])(X_{t-j}-\operatorname{E}[X_{t-j}])\right ]\\ &=\operatorname{E}\left [(\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i\varepsilon_{t-i})(\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i\varepsilon_{t-i-j}) \right ]\\ &=\operatorname{E}[\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\varphi^{j}\varepsilon_{t-i}\varepsilon_{t-i-j} ]\\ &=\varphi^{j}\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\operatorname{E}[\varepsilon_{t-i}\varepsilon_{t-i-j} ]\\ &=\varphi^{j}\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\operatorname{E}[\varepsilon_{t-i}]\operatorname{E}[\varepsilon_{t-i-j}] \qquad \text{par hypothese d independance des } \varepsilon_{t-i}\\ &=\varphi^{j}\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\operatorname{E}[(\varepsilon_{t-i})^2]\\ &=\varphi^{j}\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\operatorname{Var}[\varepsilon_{t-i}] \qquad \text{voir resultat pour la variance}\\ &=\varphi^{j}\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\sigma^2 \end{align}$

Autocorrélation

$\operatorname{Corr}[X_t,X_{t-j}]\equiv \frac{\operatorname{Cov}[X_t,X_{t-j}]}{\operatorname{Var}(X_t)}=\varphi^j$

Conditions de stationnarité

Le paramètre φ détermine si le processus AR(1) est stationnaire ou non: $|\varphi| = \begin{cases} <1 & \textrm{Le \ processus \ est \ stationnaire}\\ =1 & \textrm{Marche \ aleatoire: \ le \ processus \ est \ donc \ non \ stationnaire}\\ >1 & \textrm{Le \ processus \ est \ explosif}\end{cases}$

ϕ<1

Sous la condition, $X_0 = \frac{c}{1-\varphi}$, les résultats suivant viennent du fait que si | q | < 1 alors la série géométrique $\sum_{n=0}^{\infty} aq^n=\frac{a}{1-q}$.

si | φ | < 1:

$\operatorname{E}[X_t]=\frac{c}{1-\varphi}$

$\operatorname{Var}[X_t]= \frac{\sigma^2}{1-\varphi^2}$

$\operatorname{Cov}[X_t,X_{t-j}]= \frac{\varphi^j}{1-\varphi^2} \sigma^2$

$\operatorname{Corr}[X_t,X_{t-j}]=\varphi^j$

On peut voir que la fonction d'autocovariance décroît avec un taux de τ = − 1 / ln(φ). On voit ici que l'espérance et la variance sont constantes et que l'autocovariance ne dépend pas du temps: le processus est donc stationnaire.

ϕ=1

Lorsque φ = 1, le processus s'écrit: X_t = c + X_{t − 1} + ε_t et donc, en considérant contrairement à avant que t₀ = 0, $X_t=ct+X_0+\sum_{i=0}^{t-1}\varepsilon_{t-i}$

si | φ | = 1:

$\operatorname{E}[X_t]=ct+X_0\,$

$\operatorname{Var}[X_t]= t\sigma^2\,$

$\operatorname{Cov}[X_t,X_{t-j}]= (t-j)\sigma^2\,$

Processus AR(p)

Un processus AR(p) s'écrit:

$X_t = c + \varphi_1 X_{t-1}+\varphi_2 X_{t-2}+\ldots+\varphi_p X_{t-p} + \varepsilon_t .\,$

Moments

Les différents moments d'un processus stationnaire (voir section suivante) sont^[1]:

$\operatorname{E}(X_t)=\frac{c}{1-\varphi_1-\varphi_2-\ldots-\varphi_p}$

$\operatorname{Var}(X_t)=\varphi_1\gamma_1+\varphi_2\gamma_2+\ldots+\varphi_p\gamma_p+\sigma^2$

$\operatorname{Cov}(X_t, X_{t-j})=\varphi_1\gamma_{j-1}+\varphi_2\gamma_{j-2}+\ldots+\varphi_p\gamma_{j-p}$

Les formules de la variance et de la covariance correspondent aux équations dites de Yule et walker (voir plus bas).

Condition de stationarité

Théorème — Un processus AR(p) est stationnaire si le module des solutions (les racines) de son équation caractéristique est à chaque fois strictement supérieur à 1 en valeur absolue.

La condition est souvent formulée différemment, selon laquelle les racines doivent être en dehors du cercle complexe unitaire.

Exemple: AR(1)

Le polynôme des retards d'un processus AR(1) X_t = φX_{t − 1} + ε_t s'écrit: (1 − φL)X_t = ε_t. Sa résolution (en remplaçant l'opérateur retard L par la simple valeur x) donne $1-\varphi x=0 \Rightarrow x= \frac{1}{\varphi}$. La condition que la solution soit plus grande que 1 revient à $|\frac{1}{\varphi}|>1 \Rightarrow |\varphi|<1$

Exemple: AR(2)

Le polynôme des retards d'un processus AR(2) X_t = φ₁X_{t − 1} + φ₂X_{t − 2} + ε_t s'écrit: (1 − φ₁L − φ₂L²)X_t = ε_t. La résolution de l'équation du second degré (1 − φ₁x − φ₂x²) amène aux conditions suivantes^[2]:

• φ₁ + φ₂ < 1
• φ₂ − φ₁ < 1
• | φ₂ | < 1

Équations de Yule-Walker

Les équations de Yule-Walker établissent une correspondance directe entre les paramètres du modèle (les φ et c) et ses autocovariances. Elles sont utiles pour déterminer la fonction d'autocorrélation ou estimer les paramètres. Elles établissent que:

équation YW — $\gamma_j = \sum_{k=1}^p \varphi_k \gamma_{j-k} \qquad \forall j=1, \ldots, p$

Les coefficients γ_j représentent la fonction d'autocovariance de X d'ordre j.

Lorsque l'on inclut également l'autocovariance d'ordre 0 (en fait la variance), il faut également rajouter la variance des résidus pour la première équation. Ce terme supplémentaire ne se retrouve que dans la première équation car on a fait l'hypothèse d'indépendance des résidus (et donc $\operatorname{Cov}(\varepsilon)=0$).

équation YW — $\gamma_j = \sum_{k=1}^p \varphi_k \gamma_{j-k} + \sigma_\varepsilon^2\delta_j \qquad \forall j=0,\ldots, p$

σ_ε est la déviation (écart-type) du bruit blanc et δ_j le Symbole de Kronecker, qui vaut 1 si j=0 et 0 autrement.

Il est aussi possible d'exprimer ces équations en fonctions de l'autocorrélation:

équation YW — $\rho_j = \sum_{k=1}^p \varphi_k \rho_{j-k} + \sigma_\varepsilon^2\delta_j \qquad \forall j=0,\ldots, p$

Exemples

AR(1)

Pour un processus AR(1), on a :

$\gamma_j=\varphi \gamma_{j-1} \qquad \forall j=1,\ldots,p$

On remarque que l'on retrouve rapidement, avec j=1, le résultat obtenu plus haut :

$\rho_1=\frac{\gamma_1}{\gamma_0}=\varphi$

$\operatorname{Var}[X_t]= \frac{\sigma^2}{1-\varphi^2}$ en prenant l'équation supplémentaire pour $\gamma_0=\varphi\gamma_1 +\sigma^2_{\varepsilon}$, qui devient alors $\gamma_0=\varphi\gamma_0\varphi +\sigma^2_{\varepsilon}=\varphi^2\gamma_0 +\sigma^2_{\varepsilon}\Rightarrow(1-\varphi^2)\gamma_0=\sigma^2\Rightarrow \gamma_0=\frac{\sigma^2}{1-\varphi^2}$

AR(p)

$\begin{cases} \gamma_1 =\varphi_1\gamma_0+\varphi_2\gamma_1+\ldots +\varphi_p\gamma_{p-1}\\ \gamma_2 =\varphi_1\gamma_1+\varphi_2\gamma_2+\ldots +\varphi_p\gamma_{p-2}\\ \vdots \\ \gamma_p =\varphi_{1}\gamma_{p-1}+\varphi_2\gamma_{p-2}+\ldots +\varphi_p\gamma_{0} \end{cases}$

Que l'on peut écrire sous forme matricielle:

$\begin{bmatrix} \gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \\ \vdots \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_0 & \gamma_{-1} & \gamma_{-2} & \dots \\ \gamma_1 & \gamma_0 & \gamma_{-1} & \dots \\ \gamma_2 & \gamma_{1} & \gamma_{0} & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varphi_{1} \\ \varphi_{2} \\ \varphi_{3} \\ \vdots \\ \end{bmatrix}$

Preuve

L'équation définissante du processus AR est

$X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i}+ \varepsilon_t.\,$

En multipliant les deux membres par X_t − m et en prenant l'espérance, on obtient

$E[X_t X_{t-j}] = E\left[\sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i} X_{t-j}\right]+ E[\varepsilon_t X_{t-j}].$

Or, il se trouve que E[X_tX_t − j] = γ_j par définition de la fonction d'autocovariance. Les termes du bruit blancs sont indépendants les uns des autres et, de plus, X_t − j est indépendant de ε_t où j est plus grand que zéro. Pour j > 0, E[ε_tX_t − j] = 0. Pour j = 0,

$E[\varepsilon_t X_{t}] = E\left[\varepsilon_t \left(\sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i}+ \varepsilon_t\right)\right] = \sum_{i=1}^p \varphi_i\, E[\varepsilon_t\,X_{t-i}] + E[\varepsilon_t^2] = 0 + \sigma_\varepsilon^2,$

Maintenant, on a pour j ≥ 0,

$\gamma_j = E\left[\sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i} X_{t-j}\right] + \sigma_\varepsilon^2 \delta_j.$

Par ailleurs,

$E\left[\sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i} X_{t-j}\right] = \sum_{i=1}^p \varphi_i\,E[X_{t} X_{t-j+i}] = \sum_{i=1}^p \varphi_i\,\gamma_{j-i},$

qui donne les équations de Yule-Walker:

$\gamma_m = \sum_{i=1}^p \varphi_i \gamma_{j-i} + \sigma_\varepsilon^2 \delta_j.$

pour j ≥ 0. Pour j < 0,

$\gamma_j = \gamma_{-j} = \sum_{i=1}^p \varphi_i \gamma_{|j|-i} + \sigma_\varepsilon^2 \delta_j.$

Estimation

En partant du modèle AR(p) sans constante donné par:

$X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t.\,$

Les paramètres à estimer sont les $\varphi_i \quad i=1,\ldots,p$ et $\sigma^2_\varepsilon$.

Méthode de Yule-Walker

La méthode consiste à reprendre les équations de Yule-Walker en inversant les relations: on exprime les coefficients en fonction des autocovariances. On applique alors le raisonnement de la Méthode des moments: on trouve les paramètres estimés d'après les autocovariances estimées.

En prenant l'équation sous sa forme matricielle:

$\begin{bmatrix} \gamma_0 \\ \gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \\ \vdots \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_{-1} & \gamma_{-2} & \gamma_{-3} & \dots &1\\ \gamma_0 & \gamma_{-1} & \gamma_{-2} & \dots &0\\ \gamma_1 & \gamma_0 & \gamma_{-1} & \dots &0\\ \gamma_2 & \gamma_{1} & \gamma_{0} & \dots &0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varphi_{1} \\ \varphi_{2} \\ \varphi_{3} \\ \vdots \\ \sigma^2_\varepsilon \end{bmatrix}$

Le vecteur des paramètres $\hat\theta=\begin{pmatrix} \hat\varphi_{1} \\ \vdots \\ \hat\sigma^2_\varepsilon \end{pmatrix}$ peut alors être obtenu.

Maximum de vraisemblance inconditionnel

L'estimation d'un modèle AR(P) par la méthode du maximum de vraisemblance est délicate car la fonction de vraisemblance est très complexe et n'a pas de dérivée analytique. Cette difficutlé provient de l'interdépendance des valeurs, ainsi que du fait que les observations antérieures ne sont pas toutes disponibles pour les p premières valeurs.

Maximum de vraisemblance conditionnel

Une manière de simplifier la complexité de la fonction de vraisemblance est de conditionner cette fonction aux p premières observations. La fonction de log-vraisemblance devient: $\begin{align}L(x_1, x_2,\ldots, x_T)&=-\frac{(T-P)}{2}\log(2 \pi) -\frac{(T-P)}{2}\log(\sigma^2)\\ &-\sum_{t=p+1}^{T}\frac{(y_t-c-\varphi_1y_{t-1}-\varphi_2y_{t-2}-\ldots-\varphi_py_{t-p})^2}{2\sigma^2} \end{align}$

La maximisation de cette fonction par rapport aux paramètres φ correspond à la minimisation des erreurs du modèle. L'estimateur du maximum de vraisembance conditionnel correspond ainsi à celui des moindres carrés.

L'estimateur obtenu sera équivalent à l'estimateur inconditionnel dans de grands échantillons et tous deux ont la même distribution asymptotique (Hamilton 1994, p. 126). Il peut être biaisé^[3]

Propriétés des estimateurs

Davidson et McKinnon (1993) rapportent que l'estimateur des moindres carrés conditionnel est biaisé, mais néanmoins convergent. Cryer et Chan (2008) proposent une simulation Monte-Carlo pour tester les différents estimateurs.

Annexes

Bibliographie

• (en) Jonathan D. Cryer, Kung-Sik Chan, Time Series Analysis with Applications in R, New York, Springer, 2008, Second ed^e éd. (ISBN 978-0-387-75958-6) (LCCN 2008923058), p. 491 

• (en) Russell Davidson, James G. MacKinnon, Estimation and Inference in Econometrics, New York, Oxford University Press, 1993 (ISBN 978-0-19-506011-9) (LCCN 92012048), p. 874 

• (en) William H Greene, Econométrie, Paris, Pearson Education, 2005, 5e éd^e éd. (ISBN 978-2-7440-7097-6), p. 2 

• (en) James Douglas Hamilton, Time Series Analysis, Princeton N.J, Princeton University Press, 1994 (ISBN 978-0-691-04289-3) (LCCN 93004958), p. 799 

• (en) G. S. Maddala, In-Moo Kim, Unit Roots, Cointegration and Structural Change, Cambridge, Cambridge University Press, 2003, 5th printing^e éd., relié (ISBN 978-0-521-58257-5) (LCCN 98017325), p. 505 

Notes et références

1. ↑ selon Hamilton (1994, p. 59)
2. ↑ voir Cryer (2008, p. 84)
3. ↑ voir Greene (2005, p. 256)

Articles connexes

• ARMA
• Séries temporelles
• Régression fallacieuse
• Marche aléatoire