Processus stochastiques

Processus stochastique

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Le calcul des probabilités classique concerne des épreuves où chaque résultat possible (ou réalisation) est un nombre, ce qui conduit à la notion de variable aléatoire. Un processus stochastique ou processus aléatoire (voir Calcul stochastique) ou fonction aléatoire (voir Probabilité) représente une évolution, généralement dans le temps, d'une variable aléatoire.

Mathématiquement

Soit $(\Omega , \mathcal F , P )$ un espace de probabilité. On appelle processus aléatoire à valeur dans $(A, \mathcal A)$ un élément $X = (\Omega,\mathcal F,(X_t)_{t\ge 0},P)$, où pour tout $t\in \mathbb{R}, X_t\,$ est une variable aléatoire à valeur dans $(A,\mathcal A)$.

Si $({\mathcal F}_t)_t\,$ est une filtration, on appelle processus aléatoire adapté, à valeur dans $(A,\mathcal A)$, un élément $X=(\omega,\mathcal F,\mathcal{F}_t,(X_t)_t,P)$ où $X_t\,$ est une variable aléatoire $\mathcal{F}_t$ -mesurable à valeur dans $(A,\mathcal A)$

La fonction $\mathbb R \rightarrow A\ : \ t \mapsto X_t(\omega)$ est appelée la trajectoire associée à la réalisation $\omega \,$.

Espace des trajectoires

On appelle espace des trajectoires l'ensemble $\Omega=\mathbb{R}^{[0,+\infty[}$. Pour $\omega=(\omega_s)_{s\ge 0}\in\Omega$, on peut alors poser, pour t > 0, X_t(ω) = ω_t.

On est souvent amené, notamment dans l'étude des processus markoviens, à introduire la famille des opérateurs de translation $(\theta^t)_{t\ge 0}$. Pour $\omega=(\omega_s)_{s\ge 0}$, $\theta^t\omega=(\omega_{s+t})_{s\ge 0}$.

Les opérateurs $(\theta^t)_{t\ge 0}$ forment un semi-groupe puisque $\theta^{s+t}=\theta^{s}\circ\theta^t$

On a X_s(θ^tω) = X_{s + t}(ω) = ω_{s + t}, en particulier X₀(θ^tω) = X_t(ω) = ω_t.

Pratiquement

Notion de processus

De nombreux domaines utilisent des observations en fonction du temps (ou, plus exceptionnellement, d'une variable d'espace). Dans les cas les plus simples, ces observations se traduisent par une courbe bien définie. Malheureusement, des sciences de la Terre aux sciences humaines, les observations se présentent souvent de manière plus ou moins erratique. Il est donc tentant d'introduire des probabilités.

Un processus aléatoire généralise la notion de variable aléatoire utilisée en statistiques élémentaires. On le définit comme une famille de variables aléatoires $X(t)\,$ qui associe une telle variable à chaque valeur $t \in T\,$. L'ensemble des observations disponibles $x(t)\,$ constitue une réalisation du processus.

Un premier problème concerne le fait que la durée sur laquelle est construit le processus est généralement infinie alors qu'une réalisation porte sur une durée finie. Il est donc impossible de représenter parfaitement la réalité. Il y a une seconde difficulté beaucoup plus sérieuse : à la différence du problème des variables aléatoires, la seule information disponible sur un processus se réduit généralement à une seule réalisation.

Types de processus

On distingue généralement les processus en temps discret et en temps continu, à valeurs discrètes et à valeurs continues.

Si l'ensemble $T\,$ est dénombrable on parle de processus discret ou de série temporelle, si l'ensemble est indénombrable on parle de processus continu. La différence n'a rien de fondamental : en particulier la stationnarité, constance en fonction du temps des propriétés statistiques, se définit de la même façon. Il ne s'agit même pas d'une différence pratique car les calculs sur un processus continu s'effectuent à partir de l'échantillonnage d'une réalisation du processus. La différence porte plutôt sur l'attitude adoptée face à l'utilisation d'une seule réalisation.

Il existe une différence un peu plus nette entre les processus à valeurs continues et les processus de comptage à valeurs discrètes. Les seconds remplacent par des sommes algébriques les intégrales utilisées par les premiers.

Exemples

En matière de processus à valeurs continues, les processus de Gauss sont particulièrement utilisés pour les mêmes raisons que les variables de Gauss en statistiques élémentaires. Une application intuitive du théorème de la limite centrale conduit à penser que bon nombre de phénomènes, dus à des causes nombreuses, sont approximativement gaussiens. D'autre part, un tel processus présente l'avantage d'être entièrement défini par ses caractéristiques au second ordre, espérance et autocovariance.

La description d'un phénomène par des valeurs discrètes conduit à des processus de comptage dont le plus simple est le processus de Poisson utilisé dans la théorie des files d'attente

La notion de propriété markovienne définit une classe de processus discrets ou continus, à valeurs discrètes ou continues, qui repose sur l'hypothèse selon laquelle l'avenir ne dépend que de l'instant présent.

Voir aussi

Articles connexes

• Processus continu
• Rapport signal sur bruit
• Mouvement brownien
• Approche écosystémique

Liens externes

• Page probabilités et statistiques d'Avner Bar-Hen

Livres

Comets, F. & Meyre, T : "Calcul stochastique et modèles de diffusions", Dunod (2006). ISBN : 9782100501359

Lin, Y. K. : "Probabilistic Theory of Structural Dynamics", Robert E. Krieger Publishing Company, New York (1967)

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