Produit de Wallis

En mathématiques, le produit de Wallis est une expression de la moitié de la constante π sous la forme d'un produit infini, énoncée en 1655 par John Wallis, dans son ouvrage Arithmetica infinitorum.

Expression

Ce produit peut s'écrire sous la forme :

$\prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{8}{7} \cdot \dfrac{8}{9} \cdots = \dfrac{\pi}{2}.$

Démonstration

L'égalité est une conséquence directe de la formule d'Euler-Wallis pour le sinus :

$\dfrac{\sin(x)}{x} = \left(1 - \dfrac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \dfrac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \dfrac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots$

Si $x=\dfrac{\pi}{2}\,$,

$\dfrac{1}{\pi / 2} = \left(1 - \dfrac{1}{2^2}\right)\left(1 - \dfrac{1}{4^2}\right)\left(1 - \dfrac{1}{6^2}\right) \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \dfrac{1}{4n^2}\right)$

$\dfrac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{4n^2}{4n^2 - 1}\right)$

$= \prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{8}{7} \cdot \dfrac{8}{9} \cdots$

Vitesse de convergence

La vitesse de convergence de la suite $P_N = \prod_{n=1}^{N} \dfrac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}$ des produits finis lorsque N tend vers l'infini est assez lente, l'écart avec π / 2 étant un O(1/N). Cette suite n'est donc pas utilisée numériquement pour calculer des valeurs approchées de π. La précision peut cependant être améliorée en multipliant P_N par un développement limité dont les premiers termes sont^[1] :

$1 + \frac{1}{4N} - \frac{3}{32N^2} + \frac{3}{128N^3} + o(\frac{1}{N^3})$.

Ainsi, pour N = 10, on obtient :

$P_N \simeq 1.533851903$

$P_N(1 + \frac{1}{4N}) \simeq 1.572198201$

$P_N(1 + \frac{1}{4N} - \frac{3}{32N^2}) \simeq 1.570760215$

$P_N(1 + \frac{1}{4N} - \frac{3}{32N^2} + \frac{3}{128N^3}) \simeq 1.570796164$

alors que $\frac{\pi}{2} \simeq 1.570796327$

Lien externe

• Page de PlanetMath sur l'analyse complexe, incluant une démonstration du produit infini (en anglais)

Références

1. ↑ Cristinel Mortici, Product approximations via asymptotic integration, 117, n°5, Amer. Math. Monthly, (mai 2010), 434-442