Produit de convolution

En mathématiques, le produit de convolution de deux fonctions f et g, qui se note généralement « $f\ast g$ », est une autre fonction, obtenue à l'aide d'un calcul d'intégrales, et généralisant l'idée de moyenne glissante. En statistique, on utilise une formule très voisine pour définir la corrélation croisée.

Définition du produit de convolution

Le produit de convolution de deux fonctions réelles ou complexes f et g, est une autre fonction, qui se note généralement « $f\ast g$ » et qui est définie par :

$(f\ast g) (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot g(t) \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot g(x-t) \mathrm{d}t,$

ou encore, pour des suites (on peut parler d'utilisation de la mesure de comptage) :

$(f \ast g)(n) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} {f(n - m)\cdot g(m)} \, = \sum_{m=-\infty}^{\infty} {f(m)\cdot g(n - m)}.$

(mais dans ce qui suit, nous n'utiliserons que la version "continue").

On peut considérer cette formule comme une généralisation de l'idée de moyenne mobile.

Pour que cette définition ait un sens, il faut que f et g satisfassent certaines hypothèses ; par exemple, si ces deux fonctions sont intégrables au sens de Lebesgue (c'est-à-dire que l'intégrale de leur module est finie), leur produit de convolution est défini pour presque tout x et est lui-même intégrable.

Propriétés du produit de convolution

• Le produit de convolution est commutatif : par changement de variable

$(f\ast g) (x) \stackrel{\mathrm {def.}}{=} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot g(t) \, \mathrm{d}t = \int_{+\infty}^{-\infty} f(T) \cdot g(x-T) \, \mathrm{d}(-T) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(T) \cdot g(x-T) \, \mathrm{d}T \; \stackrel{\mathrm {def.}}{=} (g\ast f) (x)$

où T = x − t, soit t = x − T, et dt = d( − T) .

• Le produit de convolution est distributif sur l'addition :

$(f\ast (g+h)) (x) \stackrel{\mathrm {def.}}{=} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot (g(t)+h(t)) \, \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} [f(x-t) \cdot g(t)+ f(x-t) \cdot h(t)] \, \mathrm{d}t$

$= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot g(t) \, \mathrm{d}t + \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot h(t) \, \mathrm{d}t \stackrel{\mathrm {def.}}{=} (f\ast g)(x) + (f\ast h) (x)$

• Le produit de convolution est associatif (pour des fonctions intégrables, de façon à pouvoir appliquer le théorème de Fubini) :

$((f\ast g)\ast h) (y) \stackrel{\mathrm {def.}}{=} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f((y-x)-t) \cdot g(t) \, \mathrm{d}t\right)\cdot h(x)\, \mathrm{d}x$

$= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(y-T) \cdot g(T-x)\cdot h(x) \, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}T$

$= \int_{-\infty}^{+\infty}f(y-T) \cdot\left(\int_{-\infty}^{+\infty} g(T-x)\cdot h(x) \, \mathrm{d}x\right)\, \mathrm{d}T$

$\stackrel{\mathrm {def.}}{=} (f\ast(g\ast h)) (y).$

où T = x + t, soit t = T − x, et dt = dT.

Cet ensemble de fonctions, muni de l'addition et du produit de convolution, forme donc un pseudo-anneau non unitaire : l'élément unité δ devrait vérifier (pour tout x et toute fonction f) $f(x) =\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot \delta(x-t) \, \mathrm{d}t$ ; et on vérifie aisément que ce n'est possible que si δ est la distribution de Dirac… qui n'est pas une fonction. De fait, le cadre naturel pour de bonnes généralisations du produit de convolution est celui de la théorie des distributions, mais il n'est pas abordé dans cet article.

• Le produit de convolution est compatible avec les translations. Si on note τ_h la translation sur les fonctions définie par

$( \tau_h f )(x) = f ( x-h ) \,$, alors

$(\tau_h f) \ast g = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t -h) \cdot g(t) \mathrm{d}t = \tau_h(f \ast g)$

Dans le cadre plus large de la convolution des mesures,

$\tau_h f= \delta_h\ast f,$

où δ_h désigne la masse de Dirac en h. Ainsi la compatibilité avec les translations n'est qu'une conséquence immédiate de l'associativité du produit de convolution des mesures:

$(\tau_h f) \ast g = (\delta_h\ast f) \ast g = \delta_h\ast (f \ast g) = \tau_h(f \ast g).$

Cette propriété doit par ailleurs être rapprochée des applications des produits de convolution au filtrage.

• On a (en appliquant le théorème de Fubini) la formule :

$\int_{-\infty}^{+\infty}(f\ast g)(t)\,\mathrm{d}t=\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,\mathrm{d}t\right)\cdot\left(\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)\,\mathrm{d}t\right)$

• Si les fonctions f,g de départ sont paires alors $f \ast g$ est paire :

$\begin{align}(f \ast g)(-x) &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(-x-t) \cdot g(t)\mathrm{d}t \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(-x+ u) \cdot g(-u)\mathrm{d}u \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x - u) \cdot g(u)\mathrm{d}u = (f \ast g)(x) \end{align}$

Cette propriété combinée avec l'invariance sous translation permet de prouver que le produit de convolution préserve les symétries axiales des fonctions (sous réserve bien sûr que g soit paire) : si f(x − h) = f( − x − h) alors $(f \ast g)(x-h) = (f \ast g)(-x-h)$. En effet, la première équation est équivalente à τ_h(f)(x) = τ_h(f)( − x) ce qui nous donne $((\tau_h f) \ast g)(x) = ((\tau_h f) \ast g)(-x) = \tau_h (f \ast g)(x) = \tau_h (f \ast g)(-x)$ qui est le résultat demandé.

• Le produit de convolution correspond à la multiplication des transformées de Fourier des fonctions

$f\ast g = \mathcal{F}^{-1}\left(\mathcal{F}(f)\cdot\mathcal{F}(g)\right)$

où $\mathcal{F}$ désigne la transformation de Fourier et $\mathcal{F}^{-1}$ la transformation de Fourier inverse (« théorème de convolution »). Plus précisément, la transformée de Fourier est donc un isomorphisme de l'anneau précédent vers l'anneau des mêmes fonctions, muni de l'addition et de la multiplication usuelles, aux réserves précédentes près ; par exemple, on en déduirait que la transformée de Fourier inverse de la fonction constante $u : x\mapsto 1$ devrait être la fonction de Dirac ; c'est évidemment absurde, mais cela s'explique en remarquant que u n'est intégrable sur R en aucun sens possible.

L'intérêt principal du calcul du produit de convolution par transformées de Fourier est que ces opérations sont moins coûteuses en temps pour un ordinateur que le calcul direct de l'intégrale.

Utilisation du produit de convolution

• Le produit de convolution est utilisé dans le traitement du signal, lorsque l'on utilise des filtres (passe-bas, passe-haut, passe-bande). Si l'on a un signal entrant $\scriptstyle e(t)$ et un élément filtrant ayant une fonction de transfert $\scriptstyle h(t)$ alors le signal de sortie $\scriptstyle s(t)$ sera la convolution de ces deux fonctions :

$s(t)=e(t)\ast h(t)$ (produit de convolution) et S = E.H (produit simple de deux fonctions)

où $\scriptstyle E$, $\scriptstyle S$ et $\scriptstyle H$ sont les transformées de Fourier des fonctions du temps e(t), s(t) et h(t).

• En cristallographie, le théorème de convolution est utilisé dans les méthodes directes pour déterminer la phase des facteurs de structure lors de la détermination d'une structure cristalline.
• En probabilité, la densité de probabilité de la somme de deux variables aléatoires réelles indépendantes (à densité) est le produit de convolution des densités de probabilité de ces deux variables indépendantes, comme on le voit à l'aide d'un changement de variables.
• Une autre utilisation des produits de convolution se situe dans le domaine de la mécanique quantique, où l'on réalise des produits de convolution à partir des fonctions d'onde bra et ket.
• De manière générale, on peut écrire les équations différentielles linéaires correspondant à de nombreux problèmes physique sous la forme du produit de convolution d'un opérateur par une fonction décrivant le système. On peut alors résoudre de manière générique le problème en déterminant l'inverse de convolution de l'opérateur (appelé fonction de Green). Joseph Fourier a été à l'origine de cette méthode lorsqu'il a cherché à résoudre l'équation de la chaleur. Sa formulation moderne a dû attendre l'arrivée de la théorie des distributions introduite par Laurent Schwartz.
• Le produit de convolution se généralise à de nombreuses algèbres d'un groupe, par exemple aux algèbres d'un groupe fini. Si de plus le groupe est abélien, alors la théorie de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini permet d'établir tous les résultats classiques du produit de convolution.

Produit de convolution de mesures

Convolution de mesures sur la droite réelle

Par extension, on peut définir le produit de convolution de deux mesures sur $\scriptstyle (\R,\mathcal B(\R)),\$ avec l'interprétation probabiliste suivante : lorsque les lois de probabilité $\scriptstyle \mu$ et $\scriptstyle \nu$ de deux variables aléatoires réelles indépendantes n'ont pas toutes les deux des densités par rapport à la mesure de Lebesgue, la loi de leur somme est le produit de convolution de $\scriptstyle \mu$ par $\scriptstyle \nu,$ noté $\scriptstyle \mu\ast\nu,$ et défini, pour toute partie borélienne $\scriptstyle A\$ de $\scriptstyle\R,\$ par

$\mu\ast\nu(A)=\int_{\R^2}\ 1_A(x+y)\, \mu(\mathrm dx)\,\nu(\mathrm dy).$

L'intégrale d'une fonction θ par rapport à la mesure $\scriptstyle \mu\ast\nu\$ est donnée par

$\int_{\R}\ \theta(s)\, (\mu\ast\nu)(\mathrm ds)\ =\ \int_{\R^2}\ \theta(x+y)\, \mu(\mathrm dx)\,\nu(\mathrm dy).$

Le produit de convolution $\scriptstyle \mu\ast\nu\$ est la mesure image (en) par la fonction φ, définie sur $\scriptstyle\R^2\$ par φ(x,y)=x+y, de la mesure produit $\scriptstyle \mu\otimes\nu.\$ En particulier, si $\scriptstyle \mu$ et $\scriptstyle \nu$ ont toutes les deux des densités, respectivement $\scriptstyle f$ et $\scriptstyle g,$ par rapport à la mesure de Lebesgue, alors $\scriptstyle \mu\ast\nu\$ a aussi une densité par rapport à la mesure de Lebesgue, et une de ses densités est $\scriptstyle f\ast g.$

Convolution de mesures sur un groupe commutatif

Cette définition du produit de convolution peut être étendue à un groupe topologique commutatif $\scriptstyle (G,\oplus)\$ muni de sa tribu borélienne, de manière immédiate : pour toute partie borélienne $\scriptstyle A\$ de G,

$\mu\ast\nu(A)=\int_{G^2}\ 1_A(x\oplus y)\, \mu(\mathrm{d}x)\,\nu(\mathrm{d}y).$

L'intégrale d'une fonction θ par rapport à la mesure $\scriptstyle \mu\ast\nu\$ est donnée par

$\int_{G}\ \theta(s)\, (\mu\ast\nu)(\mathrm{d}s)\ =\ \int_{G^2}\ \theta(x\oplus y)\, \mu(\mathrm{d}x)\,\nu(\mathrm{d}y).$

La notion de mesure de Haar du groupe G s'écrit alors en termes de produit de convolution : μ est une mesure de Haar de G si et seulement si, pour tout élément g de G,

$\delta_g\ast\mu\ =\ \mu.$

Approche vulgarisée

La manière la plus simple de représenter le produit de convolution consiste à considérer la fonction δ de Dirac δ_a(x) ; cette "fonction" vaut 0 si x ≠ a et son intégrale vaut 1. Ceci peut sembler à première vue bizarre, on peut l'imaginer comme la limite d'une suite de fonctions, des courbes en cloche ou des rectangles ayant toutes la même surface 1, mais de plus en plus fines (donc de plus en plus hautes) ; lorsque la largeur des courbes tend vers 0, sa hauteur tend vers +∞, mais la surface reste égale à 1. Pour des raisons pratiques, on représente souvent le dirac comme un bâton placé en a et de hauteur 1.

Dirac : limite d'une suite de fonctions

Du fait de sa forme, on appelle aussi parfois un dirac « fonction impulsion ». Le produit de convolution par un dirac δ_a correspond à une translation de la fonction initiale d'une valeur de a

$f \ast \delta_a(x) = f(x-a)$

Produit de convolution d'une fonction par un dirac

On voit que δ₀ laisse invariant une fonction, c'est l'élément neutre du produit de convolution

$f\ast\delta_0(x) = f(x-0)$

Si l'on considère maintenant le produit de convolution par une somme pondérée de deux diracs (α.δ_a + β.δ_b), on obtient la superposition de deux courbes dilatées.

Produit de convolution d'une fonction par une somme pondérée de deux diracs

Considérons maintenant une fonction porte P_a,b ; c'est une fonction qui vaut 1/(b-a) entre a et b, et 0 ailleurs (son intégrale vaut 1). Cette fonction peut être vue comme une succession de diracs. La convolution de f par P_a,b va donc s'obtenir en faisant glisser f sur l'intervalle [a;b]. On obtient un « élargissement » de f.

Produit de convolution d'une fonction par une fonction porte

Si l'on considère maintenant une fonction quelconque g, on peut voir g comme une succession de diracs pondérés par la valeur de g au point considéré. Le produit de convolution de f par g s'obtient donc en faisant glisser la fonction f et en la dilatant selon la valeur de g.

Produit de convolution d'une fonction par une fonction quelconque

Le produit de convolution et le filtrage

Le produit de convolution est lié à la notion de filtrage sous deux conditions, à savoir la linéarité et l'indépendance du filtre vis-à-vis du temps (système invariant). À partir de ces deux conditions, l'opérateur de convolution peut être construit. La convolution correspond à la réponse du filtre à une entrée donnée (notée e(t)). Le filtre est entièrement caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t). Mise en équation, la réponse du filtre est $s(t)= h(t)\ast e(t)$.

La construction de l'opérateur de convolution s'élabore de la manière suivante. Tout d'abord, on s'intéresse aux deux conditions imposées sur le filtre. On note f(e) le filtrage réalisé par le filtre sur l'entrée e. La linéarité du filtre implique que :

f(λe) = λf(e)

f(e₁ + e₂) = f(e₁) + f(e₂)

On peut noter que la réponse du filtre à un signal nul est nulle. L'indépendance du temps se résume par :

f(e^d) = (f(e))^d

Où e^d est le signal e retardé de la quantité d.

À partir de là, on peut construire la réponse du filtre linéaire et indépendant du temps à l'entrée e(t). En effet, comme le filtre est linéaire, on peut décomposer le signal e(t) en parties indépendantes, à l'aide d'un ensemble de signaux e_i avec des supports disjoints compacts de telle sorte que e(t) = Σ_ie_i(t). On injecte chaque partie du signal dans le filtre puis l'on somme les différentes réponses. Ainsi le filtrage donnera : f(e) = Σ_if(e_i). Cette décomposition temporelle de e(t) peut s'effectuer de manière récursive sur les signaux e_i(t). A la fin, on obtient une suite de signaux dont le support se résume à un point. Ces signaux, élémentaires parce que non décomposables temporellement, correspondent chacun d'entre eux à la distribution de dirac δ(t − τ) centrée en τ avec une amplitude e(τ), l'impulsion s'écrit δ(t − τ).e(τ). Il suffit de sommer toutes les impulsions suivant la variable τ pour obtenir le signal e(t) :

$e(t)=\int \delta(t-\tau) \cdot e(\tau) \,\mathrm{d}\tau$

On applique l'opération de filtrage sur e(t). Comme le filtre est linéaire et indépendant du temps, nous avons :

$f(e) = \int f(\delta(t-\tau)\cdot e(\tau) \,\mathrm{d}\tau$

$= \int e(\tau)\cdot f(\delta(t-\tau)) \,\mathrm{d}\tau \$ (linéarité)

$= \int e(\tau)\cdot (f\circ\delta)(t-\tau) \,\mathrm{d}\tau \$ (indépendance du temps)

La réponse du filtre f à l'impulsion δ(t) est nommée la réponse impulsionnelle du filtre h(t). Finalement on a :

$f(e) = \int e(\tau)\cdot h(t-\tau) \,\mathrm{d}\tau$

qui n'est qu'autre que le produit de convolution.

En conclusion : si le filtre est linéaire et indépendant du temps, alors il est entièrement caractérisé par sa réponse h(t) et la réponse du filtre à l'entrée e(t) est donnée par l'opérateur de convolution.

Autre conclusion fondamentale des filtres linéaires et indépendants du temps: si l'on entre un signal $e(t)=e^{2\pi\jmath f t}$, le signal de sortie sera :

$s(t) = \int e^{2\pi\jmath f \tau} h(t-\tau) \,\mathrm{d}\tau = \int e^{2\pi\jmath f (t-\tau)} h(\tau) \,\mathrm{d}\tau$

$s(t) = e^{2\pi\jmath f t}\int e^{-2\pi\jmath f \tau} h(\tau) \,\mathrm{d}\tau$

$s(t) = e^{2\pi\jmath f t} H(f)$

s(t) sera aussi un signal de la forme $e^{2\pi\jmath f t}$ au facteur H(f) près. Ce facteur n'est autre que la transformée de Fourier de h(t).

Notes et références

• Piskounov N. Calcul Différentiel et Intégral, 12^e édition Ellipses : éditions Mir Moscou, 1993. (tome 2, page 463 et suivantes) (théorème de convolution)

Voir aussi

Article connexe

Inégalité de Young pour les normes L^p

Bibliographie

(en) Bracewell, Ronald N. Convolution Theorem. The Fourier Transform and Its Applications, 3^e édition New York : McGraw-Hill, 1999.

Liens externes

• Animation de la Johns Hopkins University qui explique la convolution de façon graphique.
• Viva la Convolution : application de la convolution à l'acoustique