Proprietes des limites

Propriétés des limites

Voici une liste des propriétés des limites en calcul différentiel.

Propriété de la fonction constante

$\lim_{x \to a}b = b$

Approche graphique

Le graphique de la fonction f définie par f(x) = b est une droite d'équation y = b, la limite de la fonction est l'ordonnée à l'origine.

Propriété de la fonction f définie par f(x) = x

$\lim_{x \to a}x = a$

Approche graphique

Le graphique de cette fonction est une droite passant par l'origine, d'équation y = x. La limite lorsque x se rapproche de a, correspond à l'ordonnée du point d'abscisse a sur la droite, cette limite vaut donc a.

Propriété de la multiplication par une constante

Si f admet en a une limite finie et si d est une constante réelle alors la fonction $d \times f$ admet une limite en a telle que:

$\lim_{x \to a}[d\times f(x)] = d\times \lim_{x \to a}f(x)$

La limite d'une fonction multipliée par une constante est égale à la constante multipliée par la limite de la fonction.

Règle de la somme

Si les fonctions f et g admettent chacune une limite finie en a, alors la fonction f + g admet elle aussi une limite en a telle que:

$\lim_{x \to a}[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$

La limite d'une somme est égale à la somme des limites.

Règle de la différence

Si les fonctions f et g admettent chacune une limite finie en a, alors la fonction f − g admet elle aussi une limite en a telle que:

$\lim_{x \to a}[f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)$

La limite d'une différence est égale à la différence des limites.

Règle du produit

Si les fonctions f et g admettent chacune une limite finie en a, alors la fonction $f \times g$ admet elle aussi une limite en a telle que:

$\lim_{x \to a}[f(x) g(x)] = [\lim_{x \to a} f(x)][\lim_{x \to a} g(x)]$

La limite d'un produit est égal au produit des limites.

Règle du quotient

Si la fonction f admet une limite finie en a et si la fonction g admet une limite finie non nulle en a , alors la fonction $\frac{f}{g}$ admet elle aussi une limite en a telle que:

$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)}{\displaystyle\lim_{x \to a} g(x)}$

La limite d'un quotient est égal au quotient des limites (si le dénominateur n'est pas nul).

Règle des puissances

Si f admet en a une limite finie alors la fonction $x \rightarrow [f(x)]^n$ admet aussi une limite en a telle que: $\lim_{x \to a}[f(x)]^n = [\lim_{x \to a}f(x)]^n$

La limite d'une fonction élevée à la puissance $n (\in \N)$ est égale à la limite de la fonction, élevée à la puissance n.

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