Pseudoscalaire

Un pseudoscalaire (ou pseudo-scalaire) est une quantité scalaire qui se distingue d'un scalaire par la façon dont elle est transformée au travers d'une application d'un groupe discret. Par exemple, le produit mixte de trois vecteurs n'est pas invariant par une isométrie indirecte, par exemple une symétrie axiale : il change de signe. Un pseudoscalaire peut orienter un vecteur, ce qui fait de ce produit un pseudovecteur. En physique théorique, la « charge magnétique » d'un monopôle magnétique se comporte comme un pseudoscalaire

En physique, on parle aussi de particules pseudoscalaires, par abus de language, puisqu'en réalité c'est que l'une propriété de la particule, telle la charge, est une quantité pseudoscalaire.

Pseudo-scalaire en algèbre géométrique

En algèbre géométrique, un pseudo-scalaire est multiple scalaire de l'élément de plus haut grade de l'algèbre $\mathbf{G_n}$. Par exemple, pour l'algèbre de l'espace euclidien $\mathbf{G_2}$ l'élément de plus haut grade est donné par le produit géométrique des deux vecteurs de base $\mathbf{e_1 e_2}$, qui est aussi le bivecteur défini par le produit extérieur $\mathbf{e_1 \wedge e_2}$. Pour l'algèbre de l'espace euclidien $\mathbf{G_3}$ l'élément de plus haut grade est donné par le produit géométrique des trois vecteurs de base $\mathbf{e_1 e_2 e_3}$ qui est le produit extérieur $\mathbf{e_1 \wedge e_2 \wedge e_3}$. L'unité pseudo-scalaire est souvent notée I. Dans $\mathbf{G_3}$ tout trivecteur ou 3-vecteur est un multiple du pseudo-scalaire $I = \mathbf{e_1 \wedge e_2 \wedge e_3}$. En $\mathbf{G_2}$ et $\mathbf{G_3}$ le carré du pseudoscalaire est $\mathbf{I^2 = -1}$, mais ce n'est pas une règle générale, cela dépend de la dimension de l'espace et de sa signature. Il y a une étroite relation entre l'algèbre à deux dimensions de $\mathbf{G_2}$ et l'algèbre des nombres complexes, le pseudo-scalaire jouant le rôle du nombre imaginaire pur.

Voir aussi

• Pseudovecteur, vecteur
• Covecteur, Espace dual
• Tenseur
• Analyse vectorielle
• Orientation (mathématiques)
• Produit scalaire
• Produit vectoriel