Puissance de deux

En mathématiques, une puissance de deux est un produit construit à partir du nombre deux multiplié par lui-même un certain nombre de fois. Un est une puissance (la puissance zéro) de deux. Écrite en binaire, une puissance de deux est toujours de la forme 10000…0, comme une puissance de dix dans le système décimal.

Comme deux est la base du système binaire, les puissances de deux sont importantes en informatique. De manière plus précise, deux à la puissance n est le nombre de façons dont les bits dans un entier binaire de longueur n peuvent être arrangés, et ainsi ces nombres représentent une puissance de deux moins un dénotent la limite supérieure des entiers s'ils sont interprétés en tant qu'entiers sans signe (représenter la puissance de 2 elle-même (sans le -1) demanderait un bit de plus).

Les nombres de cette forme apparaissent parfois dans les logiciels. Par exemple, dans le jeu vidéo The Legend of Zelda pour la console de jeu Nintendo 8 bits, on peut seulement travailler avec des nombres longs de 8 bits - le contenu d'un octet, utilisé pour stocker un nombre, donné par une valeur maximale de 2⁸-1 = 255.

Les tailles de mémoire des ordinateurs utilisent aussi les puissances de 2. Un octet contient (2³) bits, et un kilooctet contient 1 024 (2¹⁰) octets. Presque tous les registres de processeurs ont des tailles qui sont des puissances de deux (on est actuellement en train d'entamer une transition de 32 à 64 sur les PC).

Les puissances de deux ont occupé une place dans les anciens lecteurs de disques : taille de secteur, nombre de secteur par piste, et/ou nombre de piste par surface étaient souvent des puissances de deux. Les disques avaient alors ce que l'on nommait une géométrie (nombre fixe de secteurs par piste), ce qui a fini par être abandonné au profit d'une densité d'enregistrement à peu près constante (davantage de secteurs vers l'extérieur) au prix d'un peu d'électronique additionnelle.

La taille du bloc logique est restée, pour des raisons historiques et de commodité de calcul, une puissance de deux.

On retrouve dans les résolutions vidéo des nombres qui ne sont pas des puissances de deux, mais sont souvent la somme ou le produit de deux ou trois puissances de deux, ou des puissances de deux moins un. Par exemple, 640 = 512 + 128, et 480 = 32 × 15, une résolution adaptée aux écrans de diagonale 14′′.

On nomme nombre premier de Mersenne un nombre premier de la forme $2^N-1\,$. Par exemple, le nombre premier 31, qui s'écrit sous la forme 32 (2⁵) moins 1.

On peut aussi remarquer que le chiffre de l'unité est une suite (2,4,8,6) : 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, ...

Les quarante premières puissances de deux

21	=	2		211	=	2 048		221	=	2 097 152		231	=	2 147 483 648
22	=	4		212	=	4 096		222	=	4 194 304		232	=	4 294 967 296
23	=	8		213	=	8 192		223	=	8 388 608		233	=	8 589 934 592
24	=	16		214	=	16 384		224	=	16 777 216		234	=	17 179 869 184
25	=	32		215	=	32 768		225	=	33 554 432		235	=	34 359 738 368
26	=	64		216	=	65 536		226	=	67 108 864		236	=	68 719 476 736
27	=	128		217	=	131 072		227	=	134 217 728		237	=	137 438 953 472
28	=	256		218	=	262 144		228	=	268 435 456		238	=	274 877 906 944
29	=	512		219	=	524 288		229	=	536 870 912		239	=	549 755 813 888
210	=	1 024		220	=	1 048 576		230	=	1 073 741 824		240	=	1 099 511 627 776

Puissances de deux qui ont comme exposant des puissances de deux

Les cellules de mémoires modernes et les registres manipulent souvent un nombre de bits qui est une puissance de deux, les puissances les plus fréquentes qui apparaissent sont celles dont l'exposant est aussi une puissance de deux.
Une courte liste de certaines d'entre-elles :

2	=	21
4	=	22
16	=	24
256	=	28
65 536	=	216
4 294 967 296	=	232
18 446 744 073 709 551 616	=	264
340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456	=	2128
115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 936	=	2256

Autres puissances de deux remarquables

• 2²⁴ = 16 777 216, le nombre de couleurs uniques qui peuvent être affichées en couleurs vraies, qui est utilisée par la plupart des écrans d'ordinateur.

Ce nombre est le résultat de l'utilisation du système à trois canaux RVB, avec 8 bits pour chaque canal, ou 24 bits au total.

Théorèmes

• La somme des puissances de 2 est égale à la puissance de deux suivante moins un.

$S_n = \sum_{i=0}^n 2^i = 2^{n+1} - 1$

• Une puissance de deux est égale à la somme de toutes les puissances de deux inférieures plus un.

$2^n = S_{n-1} + 1\,$

$2^{n+1} = S_n + 1\,$

• Un entier est divisible par $\ 2^n$ si et seulement si le nombre composé de ses $\ n$ derniers chiffres est divisible par $\ 2^n$.
• Les puissances de 2 sont les seuls nombres qui ne sont pas divisibles par un nombre impair autre que 1.

• Une puissance de 2 peut s'écrire sous la forme $\ 2^n$ (n supérieur ou égal à 0).

• Tout autre nombre s'écrit en produit de facteur premier 2^n*k^l, k étant un nombre premier supérieur à 2 et l un entier naturel supérieur ou égal à 1, or tout nombre premier supérieur à 2 est un nombre impair.