Puissance du continu

En mathématiques, on dit d'un ensemble qu'il a la puissance du continu, ou parfois le cardinal du continu, s'il est équipotent à l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire s'il existe une bijection de cet ensemble dans $\mathbb R$. On montre que l'ensemble des parties de l'ensemble des entiers naturels a la puissance du continu, et le cardinal de cet ensemble, et donc de l'ensemble des réels, est noté $\mathfrak c$ ou ${2^{\aleph_0}}$ (où $\aleph_0$ désigne le cardinal de l'ensemble des entiers naturels, et donc celui de n'importe quel ensemble dénombrable).

On doit cette notion à Georg Cantor qui a montré dans un article paru en 1874 que le continu n'était pas équipotent au dénombrable, et par là-même l'existence de plusieurs infinis.

Il s'avère que nombre des ensembles utilisés en analyse ont la puissance du continu. Ainsi les ${\mathbb R}^n$ ont la puissance du continu, comme démontré également par Cantor, et donc l'équipotence n'est d'aucune aide pour caractériser la dimension.

Cantor a tenté vainement de démontrer que tout sous-ensemble des réels était soit dénombrable, soit de la puissance du continu. Cette hypothèse, dite hypothèse du continu, ne peut être ni confirmée ni infirmée dans la théorie des ensembles ZFC dont on pense que c'est une formalisation assez fidèle de la théorie de Cantor.