Quadrivecteur

La théorie de la relativité (restreinte, puis générale) élaborée par Einstein amène à considérer les trois coordonnées d'espace (par exemple hauteur, largeur, profondeur) et le temps comme formant un tout indissociable. Dans le cas de la relativité restreinte, l'espace plat est l'espace-temps de Minkowski à quatre dimensions.

En relativité restreinte, un quadrivecteur est alors un vecteur de l'espace-temps de Minkowski de dimension quatre, avec quatre coordonnées : cela signifie qu'en cas de changement de référentiel, les changements des coordonnées se font par les transformations de Lorentz (c'est ce que l'on nomme la covariance des coordonnées), ce qui est équivalent à l'invariance de la pseudo-norme par changement de référentiel.

Exprimés dans une base vectorielle donnée de l'espace-temps de Minkowski, on parle de quadrivecteurs contravariants. À partir de cette base et du produit scalaire de l'espace de Minkowski, on construit une autre base vectorielle, dite covariante, permettant d'écrire le produit scalaire de manière allégée. Exprimés dans cette seconde base, les quadrivecteurs sont dits covariants.

En relativité générale, un quadrivecteur est un quadrivecteur de l'espace tangent de la variété de dimension quatre de cette théorie.

Un quadrivecteur est un tenseur d'ordre 1 (il n'y a qu'un indice).

Quadrivecteurs covariants et contravariants

Des vecteurs aux quadrivecteurs contravariants : conventions

Dans l'espace-temps de Minkowski, un vecteur a quatre dimensions, et d'un référentiel à l'autre, les changements de coordonnées se font en utilisant les transformations de Lorentz. Plutôt que de vecteur, on parle de quadrivecteur.

Si on a une base vectorielle $\ \{\vec e_0; \vec e_1 ;\vec e_2 ;\vec e_3 \}$, où $\ \vec e_0$ est un vecteur directeur de l'axe temporel, un vecteur s'écrit habituellement $\sum_{i=0}^4 u^i. \vec e_i$, où $\ \{u^0; u^1 ;u^2 ;u^3 \}$ sont les coordonnées du quadrivecteurs, et $\ u^0$ est la coordonnée temporelle. La base de l'espace étant donnée, l'expression du quadrivecteur dans cette base s'appelle quadrivecteur contravariant.

Les conventions d'écritures sont précises : les indices des vecteurs sont en bas $\ ( \vec e_i )$, ceux des coordonnées sont en haut $\ ( u^i )$. En général la flèche au dessus des vecteurs est omise : $\ \vec e_i = e_i$.

La convention d'Einstein sur les indices permet d'omettre le symbole de sommation : $\sum_{i=0}^4 u^i. e_i = u^i.e_i$.

Dans une base donnée, un quadrivecteur $\ u$ est identifié au quadruplet de ses coordonnées contravariantes : $u = (u^0;u^1;u^2;u^3) = \left( u^i \right)_{i=0;1;2;3}$

De la base covariante aux quadrivecteurs covariants

En relativité restreinte, l'espace est l'espace-temps de Minkowski et est doté de la forme bilinéaire symétrique associée à la forme quadratique due à l'intervalle d'espace-temps. Connaissant une base $\ \{ e_0; e_1 ; e_2 ; e_3 \}$ telle que l'axe de $\ e_0$ soit l'axe temporel du référentiel, cette forme bilinéaire est définie par $\ <u;v> = u^0.v^0-u^1.v^1-u^2.v^2-u^3.v^3 = \sum_{i=0}^{3} \eta_{ij}.u^i.v^j$, où $\left( \eta_{ii} \right) = (1;-1;-1;-1)$ et $\ \eta_{ij} = 0$ pour $\ i\ne j$ est appelé métrique de Minkowski.

On cherche alors une base, dite duale ou covariante, $\ \{ e^0; e^1 ; e^2 ; e^3 \}$ (par convention les indices de ces vecteurs sont en haut) telle que $\ <e^i;e_j> = \delta^i_j = \delta_{ij}$, où $\ \delta^i_j = \delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker.

On trouve $\ e^0 = e_0$ et $\ e^i = -e_i$ pour $\ i=1;2;3$. Dans cette base covariante, les coordonnées d'un quadrivecteur $\ u = u^i.e_i$ sont notées $\ u_i$ (les indices des coordonnées sont en bas) : on trouve $\ u_0 = u^0$ et $\ u_i = -u^i$ pour $\ i=1;2;3$.

On écrit $\ u = u_i.e^i$ et on parle de quadrivecteur covariant. On a : $\ u = u^i.e_i = u_i.e^i$.

La forme bilinéaire s'écrit alors : $\ <u;v> = \sum_{i,j=0}^{3} u_i.v^j <e^i,e_j> = \sum_{i,j=0}^{3} u_i.v^j.\delta^i_j = \sum_{i=0}^{3} u_i.v^i = u_i.v^i$. La forme étant symétrique, on a $\ <u;v> = u_i.v^i = u^i.v_i$.

La méthode est identique en relativité générale où la forme bilinéaire s'écrit $\ <u;v> = \sum_{i,j=0}^{3} g_{ij}.u^i.v^j = g_{ij}.u^i.v^j$, où $\ g_{ij}$ est le tenseur métrique local, avec $\ \left( g^{ij} \right)_{ij}$ la matrice inverse vérifiant $\ g^{ij}g_{jk} = \delta^i_k$ (avec la convention d'Einstein sur les indices). En imposant aussi $\ <e^i;e_j> = \delta^i_j$, on trouve $\ e^i = g^{ij}e_j$ et $\ u_i = g_{ij}u^j$. Et on peut également écrire $\ <u;v> = u_i.v^i = u^i.v_i$.

La définition des $\ e^i$ par la forme bilinéaire permet de s'assurer que par changement de référentiel, « la transformée de la covariante est la covariante de la transformée » : si $\ T$ est une transformation (de Lorentz, pour la relativité restreinte) associée à un changement de base, $\ \{ e_i \}_{i=0;...;3}$ la base initiale et $\ \{ f_i \}_{i=0;...;3}$ la base transformée $\ f_i = T(e_i)$, alors du fait que $\ <T(u);T(v)> = <u;v>$, on obtient $\ f^i = T(e^i)$.

Remarques

En relativité générale, une base de l'espace tangent étant donnée, on a $\ <e_i;e_j> = g_{ij}$, résultat invariant par changement de base : une autre base $\ \left( f_i \right)_i$ vérifie $\ f_i = T(e_i)$ et $\ <f_i;f_j> = <T(e_i);T(e_j)> = <e_i;e_j>= g_{ij}$.
Dans un espace euclidien, en choisissant une base orthonormée, on a $\ <e_i;e_j> = \delta_{ij}$, et donc $\ e^i = e_i$.

Quelques exemples de quadrivecteurs

• Quadrivecteur position-temps:

$x^a = (t,{\mathbf{r}}) = (t, x, y, z)$,

ou

$x^a = (c t,{\mathbf{r}}) = (c t,x,y,z)$.

• Quadrivecteur vitesse (quadrivitesse) :

$u^a = \frac{{\rm d} x^a}{{\rm d} \tau}$,

ou

$u^a = \frac{{\rm d} x^a}{c {\rm d} \tau}$,

où τ est le temps propre, c'est-à-dire le temps qui serait indiqué par une horloge qui serait attaché à l'objet dont la trajectoire aurait le vecteur vitesse correspondant. Le quadrivecteur vitesse est par définition de norme fixée (par norme on entend la quantité η_abu^au^b, voir paragraphe ci-dessus), égale, selon la convention de coordonnée et de signe choisie à c², -c², 1, ou -1. La composante temporelle du quadrivecteur vitesse est déterminée par la condition que la norme soit égale à la valeur imposée.

• Quadrivecteur impulsion (quadri-impulsion). Pour une particule de masse non nulle :

$p^a = m \frac{{\rm d} x^a}{{\rm d} \tau}$,

ou

$p^a = m \frac{{\rm d} x^a}{c {\rm d} \tau}$,

où τ est le temps propre. Le quadrivecteur impulsion possède une norme fixée, égale, selon la convention de coordonnée et de signe choisie à m²c², -m²c², m², ou -m². La composante temporelle du quadrivecteur vitesse est déterminée par la condition que la norme soit égale à la valeur imposée. On peut montrer qu'elle s'identifie (à une constante près) à l'énergie de l'objet telle qu'elle serait mesurée par un observateur immobile par rapport aux coordonnées x, y, z.

• Potentiel vecteur A^a. Ce quadrivecteur potentiel est défini avec des composantes contravariantes. Ses composantes spatiales s'identifient (au signe près) au potentiel vecteur de l'électromagnétisme, dont le rotationnel donne le champ magnétique. Sa composante temporelle donne, à un facteur multiplicatif près, le potentiel électrique.

• nabla: $\nabla$_a est un opérateur covariant. Ses composantes spatiales s'identifient (au signe près) au gradient et sa composante temporelle s'identifie à la dérivée temporelle (à une constance 1/c) près. Sa pseudonorme s'identifie au d'alembertien

Bibliographie

• Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 2 : Théorie des champs, éd. MIR, Moscou [détail des éditions], en particulier le §6.
• Relativité générale et gravitation, Edgard Elbaz, éditions ellipses, 1986, (ISBN 2-7298-8651-6) : chapitre 3 Analyse tensorielle.

Articles connexes

• Transformation de Lorentz

Liens externes

• Cours sur la théorie de la relativité de l'université de Nantes