Racine carrée de cinq

La racine carrée de cinq, notée √5 ou 5^1/2, est un nombre réel remarquable en mathématiques et valant approximativement 2,236.

Éléments introductifs

Définition, notation et prononciation

• √5 se prononce « racine carrée de cinq » ; se prononçait aussi « radical de cinq ».
• √5 se note également 5^1/2 : « Cinq puissance un demi ». (notation Unicode : 5^½)

Valeur approchée

√5 vaut approximativement 2,23606798 dans le système décimal, 10.0011110001101111 dans le système binaire et 2.3C6EF372FE94F82C dans le système hexadécimal.

$\sqrt 5 \approx 2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089$

Fraction continue

√5 peut s'écrire sous la forme d'une fraction continue.
$\sqrt 5=2 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{\ddots\qquad{}}}}}$

Approximation par la méthode de Héron

La méthode de Héron permet de calculer la valeur approchée d'une racine carrée avec une grande précision et en peu de calculs, elle est applicable à la racine carrée de 5.

Prenons la première valeur approchée de √5 qui vaut 2.
x₀ = 2
Et la méthode de Héron nous indique que $x_{n+1} = \frac{x_n+ \frac{A}{x_n}}{2}$.

Ici, A = 5. Par itérations successives, on obtient :

• $x_{1}=\frac{2+\tfrac{5}{2}}{2}=2,25$
• $x_{2}=\frac{2,25+\tfrac{5}{2,25}}{2}\approx 2,2361$
• $x_{3}=\frac{2,2361+\tfrac{5}{2,2361}}{2}\approx \sqrt 5$

Relations avec le nombre d'or

La racine carrée de 5 entre dans la composition du nombre d'or, celui-ci vérifiant $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

On trouve donc $\sqrt{5} = 2 \varphi -1$
et $\sqrt{5} = \varphi +\frac{1}{\varphi}$