Rayon De Convergence

Rayon de convergence

Le rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel :

$R = \sup\left\{|z|: z\in \mathbb{C}, \sum a_n z^n \text{ converge simplement }\right\}\in\, [0,+\infty] = \overline{\R^+}$.

Si R est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série converge sur le disque ouvert de convergence (c'est-à-dire que si la série est réelle, il y a convergence sur l'intervalle ouvert ] − R;R[ ).

Propriétés du rayon de convergence dans $\mathbb{R}$

Si la série entière $\sum^{\infty }_{n=0}{a_{n}x^{n}}\subset\mathbb{R}$ a pour rayon de convergence R alors :

• $\forall x\in\mathbb{R}$ tq | x | < R, $\sum^{\infty }_{n=0}{a_{n}x^{n}}$ converge.

• $\forall x\in\mathbb{R}$ tq | x | > R, $\sum^{\infty }_{n=0}{a_{n}x^{n}}$ diverge.

• Si | x | = R, on ne peut rien dire sur la convergence de la série entière.

• Si R > 0 alors $\sum^{\infty }_{n=0}{a_{n}x^{n}}$ converge uniformément dans l'intervalle fermé [ − r, + r] où 0 < r < R

• $R=\cfrac{1}{\limsup_{k\to\infty}(|a_{k}|)^{1/k}}$

• Lorsque | x | < R, on peut regrouper les termes de n'importe quelle manière. Par exemple :
  • $\sum^{\infty }_{n=0}{a_{n}x^{n}}= \sum^{\infty }_{n=0}{a_{2n}x^{2n}} + \sum^{\infty }_{n=0}{a_{2n+1}x^{2n+1}}$
    
    
  • $\sum^{\infty }_{n=0}\sum^{\infty}_{k=0}{a_{n}b_{k}x^{n+k}}= \sum^{\infty }_{n=0}{a_{n}x^{n}} \cdot \sum^{\infty }_{k=0}{b_{k}x^{k}} \ \ \forall |x|<\min(R_{1},R_{2})$, où R1 et R2 sont les rayons de convergence des deux séries entières.

• Si $f(x)=\sum^{\infty }_{n=0}{a_{n}x^{n}}, \ x\in]-R,+R[$ est la limite d'une série entière de rayon de convergence R > 0 alors :
  • f est infiniment continument dérivable sur l'intervalle ] − R, + R[
  • $f^{(k)}(x)=\sum^{\infty }_{n=k}{\cfrac{n!}{(n-k)!}a_{n}x^{n-k}}$

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