Rayon De Larmor

Rayon de Larmor

Le rayon de Larmor est un concept physique permettant de décrire le mouvement d'une particule chargée soumise à un champ magnétique constant. En effet, cette particule acquiert un mouvement circulaire caractérisé par son rayon.
L'expression de ce rayon dépend de la charge de la particule $Z\times e$, de sa masse au repos m₀, de son énergie cinétique T, et de la valeur B du champ magnétique.

En mécanique classique

Le rayon de Larmor en mécanique classique s'écrit :

$R=\frac{\sqrt{2m_0T}}{ZeB}$.

Démonstration :

Pour étudier le rayon de Larmor, nous nous placons dans un repère d'axes $\vec{u_x}$, $\vec{u_y}$ et $\vec{u_z}$. Pour simplifier, supposons que le champ magnétique soit orienté selon l'axe $\vec{u_z}$, et que la vitesse initiale soit $\vec{v_0}=v_0\vec{u_x}$. La force de Lorentz appliquée à la particule, d'expression $\vec F = q \vec v \wedge \vec B$, est alors contenue dans le plan $\vec{u_x},\vec{u_y}$. Ainsi le mouvement sera restreint à ce plan. Nous utiliserons donc uniquement les coordonnées x et y de la particule. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, on en déduit que ces coordonnées vérifient les équations : $m_0\ddot x+ZeB\dot y=0$ et $m_0\ddot y-ZeB\dot x=0$. En posant X = x + iy et Y = x − iy et ω0 = ZeB / m0, on obtient : $\ddot X-i\omega_0\dot X=0$ et $\ddot Y+i\omega_0\dot Y=0$ Ces équations différentielles ont pour solution : $\dot x=v_0 cos(\omega_0t)$ et $\dot y=v_0 sin(\omega_0t)$ Et en intégrant encore une fois : $x=\frac{v_0}{\omega_0} sin(\omega_0t)$ et $y=-\frac{v_0}{\omega_0} cos(\omega_0t)$ Cela correspond à un mouvement circulaire de rayon $\frac{v_0}{\omega_0}=\frac{\sqrt{2m_0T}}{ZeB}$

En mécanique relativiste

Le passage en mécanique relativiste fait intervenir la grandeur $\gamma=\left( 1-\frac{v^2}{c^2} \right)^{-\frac{1}{2}}$ (le facteur de Lorentz). En effet, il faut remplacer, dans l'expression du principe fondamental de la dynamique, la masse au repos m₀ par la masse effective m = γm₀. En reprenant la démonstration dans le cas classique, il faut préciser que la vitesse (ou bien $\dot X \dot Y$) est constante au cours du mouvement. Ainsi, γ est aussi constant, et on peut reprendre le résultat $R=\frac{v_0}{\omega}=\frac{\gamma m_0 v_0}{ZeB}$. Finalement, comme la mécanique relativiste nous apprend que T = (γ − 1)m₀c², on obtient la formule :

$R=\frac{m_0c}{ZeB}\sqrt{\left( \frac{T+m_0c^2}{m_0c^2} \right) ^2-1}$.

Remarque :

Pour retrouver la formule classique, il suffit de considérer l'énergie cinétique comme négligeable par rapport à la masse au repos.

Voir aussi

• Joseph Larmor
• Électromagnétisme
• Électron
• Champ magnétique
• Liste des concepts scientifiques
• Précession de Larmor

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