Relations entre coefficients et racines

Un polynôme P(x) de degré n s'écrit sous sa forme la plus générale :

$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0\,$

où a_i est appelé coefficient de xⁱ. On peut aussi définir P grâce à ses racines, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de x qui annulent P. Le théorème de d'Alembert-Gauss nous assure que tout polynôme de degré n admet exactement n racines sur $\mathbb{C}$, éventuellement multiples (sur $\mathbb{R}$ en revanche, ce n'est pas toujours vrai). On montre que P peut se réécrire :

$P(x) = a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)\,$

avec r_i les racines de P, éventuellement multiples. Les relations entre les coefficients et les racines portent le nom de François Viète, le premier à les avoir énoncées dans le cas de racines positives.

Relations de Viète

Polynômes symétriques

Article détaillé : Polynôme symétrique.

On définit le k-ième polynôme symétrique, noté σ_k, comme la somme de ses éléments multipliés k fois. Par exemple, les polynômes symétriques associés aux variables w, x, y et z sont :

$\sigma_1 = w + x + y + z~,$

$\sigma_2 = wx + wy + wz + xy + xz + yz~,$

$\sigma_3 = wxy + wyz + xyz + xzw~,$

$\sigma_4 = wxyz~.$

Plus généralement,

$\sigma_1=\sum_{i=1}^n x_i~,$

$\sigma_2=\sum_{1\le i<j\le n} x_ix_j~,$

$\vdots$

$\sigma_k=\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_k}~,$

$\vdots$

$\sigma_n=x_1x_2\ldots x_n~.$

Théorème

Soient P un polynôme défini comme ci-dessus et x_i les n racines de P, éventuellement multiples. Nous avons le résultat suivant :

$\sigma_{k}=(-1)^{k}\cdot\frac{a_{n-k}}{a_{n}}\,$

Exemples

• Cas n = 2. Soient P(X) = aX² + bX + c et x₁,x₂ ses racines. Alors,

$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}~,$

$x_1x_2 = \frac{c}{a}~.$

• Cas n = 3. Soient P(X) = aX³ + bX² + cX + d et x₁,x₂,x₃ ses racines. Alors,

$x_1+x_2+x_3 = -\frac{b}{a}~,$

$x_1x_2+x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}~,$

$x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}~.$

Sommes de Newton

Article détaillé : Identités de Newton.

Exemple introductif

On se donne le polynôme P(x) = x³ + 2x² + 3x + 4 avec a, b, c ses racines. On veut déterminer la somme a² + b² + c². Pour cela, nous disposons de l'identité suivante :

$a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+ac+bc)\,$

Si bien que, d'après les relations de Viète :

$a^2 + b^2 + c^2 = (-2)^2-2\cdot3=-2$

Théorème

Les sommes de Newton sont une généralisation de ce principe. On pose $s_k = r_1^k + \cdots + r_n^k$, où les r_i sont les racines de $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0$. (En particulier, s₀ = n). La méthode présentée dans l'exemple se généralise, mais les calculs deviennent compliqués. On peut par contre démontrer directement^[1] :

$a_ns_1 + a_{n-1} = 0~,$

$a_ns_2 + a_{n-1}s_1 + 2a_{n-2}= 0~,$

$a_ns_3 + a_{n-1}s_2 + a_{n-2}s_1 + 3a_{n-3} = 0~,$

$\vdots$

$a_ns_d + a_{n-1}s_{d-1} + \ldots + a_{n-d+1}s_1+da_{n-d}= 0~.$

Note et référence

1. ↑ Pellet, « Expression de la somme des puissances semblables des racines d'une équation, en fonction des coefficients », dans Nouvelles annales de mathématiques, 2^e série, vol. 14, 1875, p. 259-265 [texte intégral (page consultée le 1 octobre 2010)]