Repere affine

Repère affine

Comme dans tout espace géométrique, un repère affine est un repère dans un espace affine qui permet d'associer de façon bi-univoque à tout point de l'espace, un ensemble de coordonnées à valeurs dans le corps sur lequel se trouve défini l'espace vectoriel associé.

Puisque les espaces affines n'ont aucune structure supplémentaire autre que la structure linéaire apportée par l'espace vectoriel, les repères affines sont aussi généraux que la structure d'espace affine le permet, et reposent sur la notion de base dans les espaces vectoriels.

Définition formelle

Dans un espace affine $\mathcal E=(E,V)$ de dimension n où l'espace vectoriel V porte sa structure sur le corps K, un repère affine est un couple

$\mathcal R=(O;e)$,

où O est un point de E (appelé origine du repère), et $e=(e_1,e_2,\dots,e_n)$ est une base quelconque de V.

Pour tout point M de E, les coordonnées de M dans le repère $\mathcal R$ sont tout simplement les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OM}$ dans la base e de V, c'est-à-dire

$M_{\mathcal R}=\overrightarrow{OM}_e$,

où $M_{\mathcal R} \in K^{n\times 1}$ dénote les coordonnées de M dans le repère $\mathcal R$, et $\overrightarrow{OM}_e$ dénote les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OM}\in V$ dans la base e.

Figure 1. Repère affine dans le plan.

Cette définition est tout à fait légitime car elle est due au fait que le choix d'un point privilégié dans E permet d'établir une correspondance bijective entre l'espace des points E et l'espace vectoriel V (voir espace affine). Donc l'origine étant choisie, les coordonnées des points de E sont tout simplement les coordonnées des vecteurs associés par la correspondance bijective.

Pour tout couple de points A et B de E, l'égalité suivante découle immédiatement de la définition :

• $\overrightarrow{AB}_e=B_{\mathcal R}-A_{\mathcal R}.$

Equations de changement de repère dans les espaces affines

Dans un même espace affine $\mathcal E=(E,V)$ de dimension n, si $\mathcal R=(O;e)$ et $\mathcal R'=(O';e')$ sont deux repères différents, alors les coordonnées $M_{\mathcal R'}=\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ \vdots \\ x'_n \end{pmatrix}$ s'obtiennent à partir des coordonnées du même point M mais dans le repère $\mathcal R$, $M_{\mathcal R}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ à l'aide des équations suivantes :

$\left\{\begin{matrix} x'_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n+b_1 \\ x'_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n+b_2 \\ \vdots \\ x'_n=a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\dots+a_{nn}x_n+b_n \\ \end{matrix}\right.$

qui matriciellement s'écrivent $M_{\mathcal R'}=A\cdot M_{\mathcal R}+B$, où $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ est la matrice de passage dans V pour passer de la base e' à la base e, et $B=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}=O_{\mathcal R'}.$

La relation entre $O_{\mathcal R'}$ et $O'_{\mathcal R}$ est la suivante :

$O_{\mathcal R'}=-A\cdot O'_{\mathcal R}.$

Les équations de changement de repère dans l'autre sens (de $\mathcal R'$ vers $\mathcal R$) s'écrivent alors :

$M_{\mathcal R}=A^{-1}\cdot M_{\mathcal R'}-A^{-1}B=A^{-1}\cdot M_{\mathcal R'}+O'_{\mathcal R}.$

Repères affines et espace affine canonique

Tout repère affine $\mathcal R$ dans un espace affine $\mathcal E$ permet d'etablir un isomorphisme (affine) entre $\mathcal E$ et l'espace affine canonique Aⁿ(K). En effet, l'application $T:\mathcal E\to A^n(K)$ définie par

$T(M)=M_{\mathcal R},$ pour tout point M,

c'est-à-dire l'application qui associe à tout point de $\mathcal E$ ses coordonnées vues comme un élément de Kⁿ, est une application affine bijective entre $\mathcal E$ et Aⁿ(K), telle que sa réciproque est aussi affine (T est un isomorphisme affine).

Tout espace affine sur un corps K et de dimension n est alors isomorphe (se comporte de façon identique du point de vue d'un espace affine) à l'espace affine canonique Aⁿ(K). Les espaces affines à étudier sont donc simplement les espaces affines canoniques (dénotés aussi A_n) qui servent de modèles.

Voir aussi

• La définition d'espace affine.
• La notion d'application affine.
• La géométrie affine.
• Système de coordonnées cartésiennes

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