Reste

En mathématiques, le reste s'obtient lors de la division de deux nombres qui ne sont pas dans un rapport entier. Le résultat de la division donne alors un quotient et un reste.

Entiers naturels

Si a et d sont des entiers naturels, avec d différent de zéro, il est prouvé qu'il existe deux entiers uniques q et r, tel que a = qd + r et 0 ≤ r < d. Le nombre q est appelé le quotient, alors que r est le reste.

La division euclidienne donne une preuve de ce résultat, tout comme une méthode pour l'obtenir.

Exemples

• En divisant 13 par 10, on obtient 1 comme quotient et 3 comme reste, car 13 = 1×10 + 3.
• En divisant 26 par 4, on obtient 6 comme quotient et 2 comme reste, car 26 = 6×4 + 2.
• En divisant 56 par 7, on obtient 8 comme quotient et 0 comme reste, car 56 = 7×8 + 0.

Entiers relatifs

Si a et d sont des entiers relatifs, avec d différent de zéro, alors le reste r est un entier tel que a = qd + r, q étant un entier et 0 ≤ |r| < |d|.

Cette définition permet de former deux restes différents pour la même division. Par exemple, la division de −42 par −5 s'exprime par

−42 = 9×(−5) + 3

ou

−42 = 8×(−5) + (−2).

Le reste est 3 ou −2.

Cette ambiguïté est peu importante en pratique. En effet, en soustrayant 5 du reste positif, d, on obtient le reste négatif. Cela est vrai en général. En divisant par d, si le reste positif est nommé r₁, et le reste négatif est nommé r₂, alors

r₁ = r₂ + d.

Nombres réels

Lorsque a et b sont des nombres réels, avec b différent de zéro, b ne peut diviser a sans reste, le quotient étant un autre nombre réel. Cependant, si le quotient est entier, le concept de reste est encore valide. Il est prouvé qu'il existe un entier unique q et un reste réel r tel que a = qd + r avec 0 ≤ r < |d|. Comme dans le cas de la division d'entiers relatifs, le reste peut être négatif, c'est-à-dire -|d| < r ≤ 0.

Généraliser la notion de reste pour les nombres réels tel que décrit dans le paragraphe précédent n'a pas d'importance théorique en mathématiques. Pourtant, plusieurs langages de programmation l'offrent.

Sur les inégalités

Dans les définitions données, il y a une inégalité qui était soit 0 ≤ r < |d| ou -|d| < r ≤ 0. Elle est nécessaire pour assurer que le reste est unique. Le choix d'une telle inégalité est arbitraire. N'importe quelle condition de la forme x < r ≤ x + |d| (ou x ≤ r < x + |d|), où x est constant, garantit que le reste est unique.

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

• « Reste », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel)

• Algorithme d'Euclide
• Arithmétique modulaire
• Division euclidienne