Rotationnel du rotationnel

Dans le cadre de l'analyse vectorielle, on peut être amené à calculer le rotationnel d'un rotationnel.

Formule classique en espace plan

La formule classique pour un vecteur A quelconque est :

$\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A) = \boldsymbol \nabla (\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol A) - \Delta \boldsymbol A$,

la seconde partie de l'expression faisant intervenir l'opérateur laplacien vectoriel.

Démonstration

La démonstration de cette formule se fait par évaluation directe de l'opérateur rotationnel appliqué deux fois. Ainsi, en coordonnées cartésiennes, les composantes du rotationnel d'un vecteur A quelconque s'écrivent :

$\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A = \left(\begin{array}{c} \partial_y A^z - \partial_z A^y \\ \partial_z A^x - \partial_x A^z \\ \partial_x A^y - \partial_y A^x \end{array} \right)$.

En appliquant le rotationnel une seconde fois, il vient

$\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A) = \left(\begin{array}{c} \partial_y (\partial_x A^y - \partial_y A^x) - \partial_z (\partial_z A^x - \partial_x A^z) \\ \partial_z (\partial_y A^z - \partial_z A^y) - \partial_x (\partial_x A^y - \partial_y A^x) \\ \partial_x (\partial_z A^x - \partial_x A^z) - \partial_y (\partial_y A^z - \partial_z A^y) \end{array} \right)$.

En regroupant les termes, on obtient

$\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A) = \left(\begin{array}{c} - \partial_{yy} A^x - \partial_{zz} A^x + \partial_{xy} A^y + \partial_{xz} A^z \\ - \partial_{xx} A^y - \partial_{zz} A^y + \partial_{yz} A^z + \partial_{yx} A^x \\ - \partial_{xx} A^z - \partial_{yy} A^z + \partial_{zx} A^x + \partial_{zy} A^y \end{array} \right)$.

Dans chacune des composantes i, les termes négatifs correspondent à deux des composantes du laplacien de Aⁱ, auxquelles il manque la dérivée seconde de Aⁱ par rapport à la i^e composante. Ainsi, on a

$\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A) = \left(\begin{array}{c} - \Delta A^x + \partial_{xx} A^x + \partial_{xy} A^y + \partial_{xz} A^z \\ - \Delta A^y + \partial_{yy} A^y + \partial_{yz} A^z + \partial_{yx} A^x \\ - \Delta A^z + \partial_zz A^z + \partial_{zx} A^x + \partial_{zy} A^y \end{array} \right)$.

Outre le terme en laplacien, tous les autres termes de la composante i font intervenir une dérivée seconde qui chaque fois contiennent au moins une dérivée par rapport à la i^e composante. Par ailleurs, le terme dont prend la dérivée par rapport à cette i^e coordonnée est toujours le même, et correspond à la divergence de A. On obtient donc comme annoncé

$\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A) = \boldsymbol \nabla (\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol A) - \Delta \boldsymbol A$.

Une autre démonstration

On peut directement exprimer les composantes d'un rotationnel, de façon formelle, à l'aide du symbole de Levi-Civita ε:

$(\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A)^i = \varepsilon_{ijk} \partial_j A^k$,

en utilisant la convention d'Einstein, c'est-à-dire la sommation implicite sur tous les indices se répétant deux fois d'un côté de l'équation (en l'occurrence ici les indices j et k à droite). Le double rotationnel est ainsi

$(\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A))^i = \epsilon_{ijk} \partial_j (\epsilon_{klm} \partial_l A^m)$.

On utilise ensuite une relation connue sur le produit de deux symboles de Levi-Civita faisant intervenir le symbole de Kronecker δ, soit

ε_ijkε_imn = δ_jmδ_kn − δ_jnδ_km.

Avec les propriétés d'antisymétrie de ces symboles, on obtient ici

ε_ijkε_klm = δ_ilδ_jm − δ_imδ_jl,

ce qui donne

$(\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A))^i = (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}) \partial_{jl} A^m$,

expression que l'on peut simplifier en

$(\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A))^i = \partial_{mi} A^m - \partial_{jj} A^i$.

Le premier terme correspond comme attendu du gradient de la divergence de A et le second au laplacien scalaire de ses composante, d'où à nouveau la formule

$\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A) = \boldsymbol \nabla (\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol A) - \Delta \boldsymbol A$.

Formule en espace courbe

La formule classique peut être adaptée à un espace doté d'une métrique quelconque. Dans ce cas, la forme connaît des modifications issues du fait que les dérivées partielles $\partial$ doivent être remplacées par des dérivées covariantes que l'on notera ici D, et que celles-ci ne commutent pas. Dans ce cas, en reprenant la seconde démonstration ci-dessus, on obtient, pour des vecteurs^[1].

$(\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A))^i = D_{mi} A^m - D^j D_j A^i$.

Le second membre correspond au laplacien vectoriel, mais le premier ne correspond pas au gradient de la divergence, car l'ordre de dérivées covariantes est inversé. En utilisant la formule de commutation des dérivées covariantes en fonction du tenseur de Riemann Rⁱ_jkl, on obtient

$(D_i D_j - D_j D_i) A^k = R^k_{\;lij} A^l$,

ce qui donne en contractant les indices i et k,

$(D_k D_j - D_j D_k) A^k = R^k_{lkj} A^l = R_{lj} A^l$,

où R_lj représente le tenseur de Ricci. En utilisant cette formule, on obtient

$(\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A))^i = D_{im} A^m - D^j D_j A^i + R_{ik} A^k$.

Applications en physique

Le rotationnel du rotationnel intervient quand on étudie les solutions dans le vide des équations de Maxwell. Ces équations s'écrivent, dans le vide,

$\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol E = 0$,

$\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol B = 0$,

$\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol E = - \frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}$,

$\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol B = \frac{1}{c^2}\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t}$,

avec les notation usuelle de E pour le champ électrique, B pour le champ magnétique et c pour la vitesse de la lumière. Pour résoudre une telle équation, on peut par exemple prendre le rotationnel de la quatrième et la dérivée temporelle de la troisième. Il vient alors

$\boldsymbol \nabla \wedge \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} = - \frac{\partial^2 \boldsymbol B}{\partial t^2}$,

$\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol B) = \frac{1}{c^2}\boldsymbol \nabla \wedge \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t}$.

La combinaison des deux donne alors immédiatement

$\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol B) = - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \boldsymbol B}{\partial t^2}$,

En utilisant la formule du rotationnel du rotationnel, on trouve

$\boldsymbol \nabla (\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol B) - \Delta \boldsymbol B = - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \boldsymbol B}{\partial t^2}$.

Comme par ailleurs la divergence du champ magnétique B est identiquement nulle, il reste

$\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2} - \Delta \right) \boldsymbol B = \boldsymbol 0$.

Les solutions non triviales à cette équations sont les ondes électromagnétiques se propageant (ici dans le vide) à la vitesse c.

Liens

• Identités vectorielles

Note

1. ↑ Dans ce cas de figure, il faut préciser si l'opérateur agit sur des vecteurs covariants ou contravariants, c'est-à-dire sur des vecteurs ordinaires ou des formes linéaires.