Régularité par morceaux

En mathématiques, les énoncés de certaines propriétés d'analyse et résultats de convergence se réfèrent à des fonctions vérifiant des hypothèses telles que continues par morceaux, dérivables par morceaux, etc.

Ces fonctions sont regroupées par classes de régularité qui sont autant d’espaces vectoriels emboîtés, notés classe $\mathcal C^k$ par morceaux ou encore $\mathcal{C}_I^k$.

Sur un segment

Une fonction f est continue par morceaux sur le segment [a,b] s’il existe une subdivision $\sigma :\; a_0=a<a_1<\dots <a_n=b$ telle que les restrictions de f à chaque intervalle ouvert ]a_i,a_i+1[ admettent un prolongement continu à l'intervalle fermé [a_i,a_i+1].

Concrètement une telle fonction f est continue sur ]a_i,a_i+1[ et admet une limite finie à droite et à gauche en chaque a_i (lesquelles peuvent être distinctes et distinctes de la valeur de f au point a_i lui-même).

On définit de même les fonctions de classe $\mathcal C^k$ par morceaux, linéaires par morceaux, etc.

On notera qu'une fonction de classe $\mathcal C^1$ par morceaux, par exemple, n'est pas nécessairement continue en a_i, mais qu'elle admet des limites et dérivées à droite et à gauche en a_i.

Sur un intervalle

Une fonction est continue (ou autres propriétés) par morceaux sur l'intervalle I quand elle est continue (ou autre) par morceaux sur tout segment de I.

En dimension n > 1

Soit $\Omega \subset \R^n$ un ouvert borné et d’adhérence $\overline{\Omega}$.

Pour simplifier, supposons que $\Omega \$ soit un domaine « régulier » (par exemple et pour fixer les idées, que le théorème de la divergence soit valable pour toute fonction suffisamment lisse sur $\R^n$).

Alors :

• Une fonction $f \$ de $\overline \Omega \$ dans $\R$ est continue par morceaux (noté $\mathcal{C}_I^0(\overline \Omega)$) s’il existe m ouverts disjoints $\Omega_i \$ tels que $\overline{\Omega} = \cup_i \overline{\Omega_i} \$ et que la restriction de $f \$ à chacun des $\overline \Omega_i \$ admette une extension continue dans $\R^n$.

• Une fonction $f \$ de $\overline \Omega \$ dans $\R$ est de classe $\mathcal{C}^k(\overline \Omega)$ par morceaux (noté $\mathcal{C}_I^k(\overline \Omega)$) si elle est de classe $\mathcal{C}^{k-1}(\overline \Omega)$ et s’il existe m ouverts disjoints $\Omega_i \$ tels que $\overline{\Omega} = \cup_i \overline{\Omega_i} \$ et que la restriction de $f \$ à chacun des $\overline \Omega_i \$ est de classe $\mathcal{C}^k(\overline \Omega_i)$.

Domaines où l'on utilise la régularité par morceaux

• Certaines théories simplifiées de l'intégration
• Les séries de Fourier

Voir aussi

• Classe de régularité
• Fonction affine par morceaux
• Application linéaire par morceaux