Résidu d'un entier naturel

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Le résidu (ou racine numérique) d’un entier naturel est le nombre obtenu en additionnant tous ses chiffres, puis en additionnant les chiffres du résultat, et ainsi de suite jusqu’à l’obtention d’un nombre à un seul chiffre.

Par exemple, le résidu du nombre 65 536 est 7 car 6 + 5 + 5 + 3 + 6 = 25, puis 2 + 5 = 7.

Dans des cas particuliers, le résidu d’un entier prend des valeurs bien déterminées.

• Le résidu d’un carré parfait est 1, 4, 7, ou 9.
• Le résidu d’un nombre premier (à l’exception de 3) est 1, 2, 4, 5, 7, ou 8.
• Le résidu d’une puissance de 2 est 1, 2, 4, 5, 7, ou 8.
• Le résidu d’un nombre parfait (excepté 6) est 1.
• Le résidu d’un nombre étoilé est 1 ou 4.

Les résidus peuvent être calculés à l’aide des congruences plutôt que par l’addition de tous les chiffres. En effet, si on considère le reste n de la division euclidienne de N par 9 (c’est-à-dire que N est congru à n modulo 9) :

• si n = 0, le résidu de N est 9
• sinon, le résidu de N est n.

Les résidus d’entiers peuvent être utilisés comme somme de contrôle.

Dans certaines pseudo-sciences telles que la numérologie et dans le contexte occultiste, le résidu d'un nombre est souvent qualifié de réduction théosophique^[1].

Propriétés

Des propriétés des congruences sur les entiers, on peut déduire :

• le résidu d'une addition de deux entiers est le résidu de la somme des résidus de chaque terme ;
• le résidu d'une multiplication est le résidu du produit des résidus de chaque facteur.

Par exemple : 1 234 + 5 678 = 6 912 et 1 234 × 5 678 = 7 006 652

Le résidu de 1 234 est 1. Le résidu de 5 678 est 8.

Le résidu de 6 912 est 9, qui est bien le résidu de 9 (venant de 1 + 8).

Le résidu de 7 006 652 est 8, qui est bien le résidu de 8 (venant de 1 × 8).

Notes

1. ↑ Observatoire Zététique : la numérologie La réduction théosophique (...) : réduction de tout nombre en un seul chiffre (de 1 à 9), par addition successive de ses chiffres jusqu'à ce qu'il n'en reste plus qu'un.