Associativite des puissances

Associativité des puissances

En algèbre, l'associativité des puissances est une forme plus faible de l'associativité et de l'alternativité.

Un magma est dit associatif des puissances si le sous-magma généré par n'importe quel élément est associatif. Concrètement, cela signifie que si un élément x est multiplié par lui-même plusieurs fois, l'ordre dans lequel sont effectuées ces multiplications n'a pas d'importance; ainsi, par exemple, x(x(xx)) = (x(xx))x = (xx)(xx)

Tout magma associatif est évidemment associatif des puissances, ainsi que les magmas alternatifs, comme les octonions. Certains magmas non-alternatifs le sont également, comme les sédénions.

L'exponentiation à une puissance d'entier naturel différent de zéro peut être défini de manière cohérente si la multiplication est associative des puissances. Par exemple, il n'y a pas d'ambiguïté que x³ soit défini comme (xx)x ou x(xx), car les deux sont égaux. L'exponentiation à une puissance de zéro peut également être définie si l'opération possède un élément neutre : l'existence de tels éléments est ainsi particulièrement utile dans les contextes où l'associativité des puissances est vérifiée.

Une loi de substitution remarquable est valable dans les algèbres associatives des puissances, avec élément neutre. Elle affirme que la multiplication des polynômes fonctionne comme attendue. Soient f et g deux polynômes réels en x. Pour tout a, nous avons (fg)(a) = f(a)g(a).

Voir aussi

• Associativité
• Alternativité

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