Assombrissement Centre-bord

Assombrissement centre-bord

Image du soleil. L'assombrissement centre-bord est l'effet de diminution apparente de l'intensité lumineuse sur les bords du disque du soleil.

En astronomie, l'assombrissement centre-bord est l'effet de diminution apparente de l'intensité lumineuse sur les bords d'une étoile. Cet effet apparent est la conséquence de deux effets physiques réels : la diminution à la fois de la densité et de la température avec l'accroissement de la distance au centre de l'étoile.

Un cas idéal d'un assombrissement centre-bord. La limite externe est le rayon au-delà duquel les photons émis par l'étoile ne sont plus absorbés (profondeur optique plus petite que 1). L  est la distance à laquelle la profondeur optique vaut 1. Des photons de haute énergie émis en "A" sortiront de l'étoile, de même que des photons de basse énergie en "B".

La profondeur optique

Le concept de profondeur optique (noté τ) est essentiel pour comprendre l'assombrissement centre-bord, puisque c'est lui qui définit la limite visible (la surface) d'une étoile. Un gaz avec une profondeur optique égale à 1 est un gaz où une fraction 1/e de photons peut s'échapper. Si τ > 1 c'est opaque, et inversement, si τ < 1, c'est transparent.

La radiation observée d'une étoile est approximativement la somme de toutes les émissions le long de toute la ligne de visée, jusqu'au point où la profondeur optique vaut 1 (c'est la surface). Mais quand on regarde le bord d'une étoile, on ne peut pas voir la même profondeur optique que quand on regarde au centre parce que la ligne de visée doit traverser un angle oblique à travers le gaz de l'étoile.

Le second effet est le fait que la température de la photosphère stellaire est (généralement) décroissante lorsque la distance au centre de l'étoile croît. Mais la radiation émise par un gaz est fonction de la température. Pour une radiation de type corps noir (qui approxime assez bien la radiation d'une étoile), l'intensité lumineuse varie comme la quatrième puissance de la température (Loi de Stefan-Boltzmann). Puisque, quand on observe une étoile, la radiation vient d'un point où la profondeur optique vaut 1, et que ce point est apparemment plus profond dans l'étoile lorsqu'on regarde au centre de l'étoile, l'intensité lumineuse va apparaître plus grande que lorsqu'on regarde sur les bords.

Calcul de l'assombrissement centre-bord

Schéma de l'assombrissement centre-bord. L'étoile est centrée en O  et a un rayon R . L'observateur est à un point P  à une distance r  du centre de l'étoile et regarde à un point S  sur la surface de l'étoile. Du point de vue de l'observateur, S  est à un angle θ d'une ligne allant au centre de l'étoile et le bord de l'étoile est à un angle Ω.

Sur la figure, pour autant que l'observateur soit à un point P en dehors de la photosphère stellaire, l'intensité lumineuse vue dans le direction θ est une fonction seulement de l'angle d'incidence ψ. Cela est souvent approximé par un polynôme en cos(ψ).

$\frac{I(\psi)}{I(0)} = \sum_{k=0}^N a_k \, \textrm{cos}^k(\psi)$

où I(ψ) est l'intensité vue en P le long de la ligne de visée formant un angle ψ avec le rayon stellaire, et I(0) est l'intensité vue au centre. On peut montrer que, pour conserver le fait que la rapport doit valoir 1 pour ψ=0, on doit avoir :

$\sum_{k=0}^N a_k =1$

Par exemple, pour un cas sans assombrissement centre-bord, on aura tous les a_k=0 excepté a₀=1. En revanche, pour le Soleil à 550 nm l'assombrissement centre-bord est bien décrit par N=2 et^[1].

$a_0=1-a_1-a_2\,$

$a_1=0.93\,$

$a_2=-0.23\,$

L'équation de l'assombrissement centre-bord est parfois écrit de manière plus convenable comme :

$\frac{I(\psi)}{I(0)} = 1+\sum_{k=1}^N A_k \, (1-\cos(\psi))^k$

qui a maintenant seulement N  coefficients indépendants, plutôt que N+1  coefficients, dont la somme vaut 1. On peut convertir de ψ à θ en utilisant l'identité trigonométrique :

$\cos(\psi) = \frac{\sqrt{\cos^2(\theta)-\cos^2(\Omega)}}{\sin(\Omega)}$

où Ω est l'angle entre l'observateur et le bord de l'étoile. L'approximation ci-dessus peut être utilisée pour dériver une expression analytique pour le rapport de l'intensité moyenne à l'intensité centrale. L'intensité moyenne I_m est l'intégrale de l'intensité sur le disque de l'étoile, divisée par l'angle solide sous-tendu par le disque :

$I_m = \frac{\int I(\psi)d\omega}{\int d\omega}$

où dω=sin(θ)dθdφ est un élément d'angle solide, et 0≤φ≤2π et 0≤θ≤Ω. Bien que cette équation puisse être résolue analytiquement dans le cas général, c'est assez compliqué. Dans le cas d'un observateur à une distance "r" "infinie" de l'étoile (ce qui est toujours le cas en première approximation), l'équation se simplifie comme :

$\frac{I_m}{I(0)} = 2 \sum_{k=0}^N \frac{a_k}{k+2}$

Références

• (en) Billings, Donald E., A Guide to the Solar Corona, Academic Press, New York, 1966 
• (en) Cox, Arthur N. (ed), Allen's Astrophysical Quantities, Springer-Verlag, NY, 2000 
• Milne, E.A., «  », dans MNRAS, vol. 81, 1921, p. 361-375 
• Minnaert, M., «  », dans Z.f. Ap., vol. 1, 1930, p. 209 
• Neckel, H. and Labs, D., « Solar Limb Darkening 1986-1990 », dans Solar Physics, vol. 153, 1994, p. 91-114 
• van de Hulst, H. C., «  », dans Bull. Astron. Inst. Netherlands, vol. 11, n^o 410, 1950, p. 135 

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Limb darkening ».

Notes

1. ↑ Cox, 2000

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