Attracteur de Lorenz

Pour consulter un article plus général, voir : théorie du chaos.

L'attracteur de Lorenz

En 1963, le météorologue Edward Lorenz est le premier à mettre en évidence le caractère vraisemblablement chaotique de la météorologie.

Le modèle de Lorenz, appelé aussi système dynamique de Lorenz ou oscillateur de Lorenz, est une modélisation simplifiée de phénomènes météorologiques basée sur la mécanique des fluides. L'oscillateur de Lorenz est un système dynamique tridimensionnel qui engendre un comportement chaotique dans certaines conditions.

L'attracteur de Lorenz, baptisé d'après son découvreur, est une structure fractale correspondant au comportement à long terme de l'oscillateur de Lorenz. L'attracteur montre comment les différentes variables du système dynamique évoluent dans le temps en une trajectoire non périodique.

Le modèle de Lorenz a eu des répercussions importantes en montrant les limites possibles sur la capacité de prédiction à long terme de l'évolution climatique et météorologique. C'est un élément important de la théorie selon laquelle l'atmosphère des planètes et des étoiles peut comporter une grande variété de régimes quasi-périodiques et est sujette à des changements abrupts et, en apparence, aléatoires.

C'est est aussi un exemple utile à la théorie des systèmes dynamiques servant de source à de nouveau concepts mathématiques^[1].

Modèle de Lorenz

L'attracteur et les équations associées ont été rendues publiques en 1963 par Edward Lorenz.

Mathématiquement, le couplage de l'atmosphère avec l'océan est décrit par le système d'équations aux dérivées partielles couplées de Navier-Stokes de la mécanique des fluides. Ce système d'équations était beaucoup trop compliqué à résoudre numériquement pour les ordinateurs existant au temps de Lorenz. Celui-ci eut donc l'idée de chercher un modèle très simplifié de ces équations pour étudier une situation physique particulière : le phénomène de convection de Rayleigh-Bénard. Il aboutit alors à un système dynamique différentiel possédant seulement trois degrés de liberté, beaucoup plus simple à intégrer numériquement que les équations de départ.

Système dynamique différentiel de Lorenz

Ce système différentiel s'écrit :

$\begin{cases} \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=\sigma \bigl( y(t) - x(t) \bigr)\\ \frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}=\rho \, x(t) - y(t) - x(t) \, z(t)\\ \frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t} =x(t) \, y(t) - \beta \, z(t) \end{cases}$

Dans ces équations, σ,ρ et β sont trois paramètres réels strictement positifs fixés. Le paramètre σ est appelé nombre de Prandtl et ρ est appelé nombre de Rayleigh^{[citation nécessaire]} (c'est un rapport du nombre de Rayleigh sur un Rayleigh critique).

Les variables dynamiques x,y et z représentent l'état du système à chaque instant. L'interprétation physique en est la suivante : x(t) est proportionnel à l'intensité du mouvement de convection, y(t) est proportionnel à la différence de température entre les courants ascendants et descendants, et z(t) est proportionnel à l'écart du profil de température vertical par rapport à un profil linéaire^[2].

On pose souvent σ = 10, β = 8/3 ; ρ restant variable. Le système présente un comportement chaotique pour ρ = 28.

Points d'équilibre

Les points d'équilibre, ou points fixes, du système sont les solutions (x,y,z) constantes du système différentiel. Il en existe au plus trois :

• le point fixe (0, 0, 0), qui existe quelles que soient les valeurs des paramètres réels σ,ρ et β.

• les deux points fixes symétriques : $\left( - \sqrt{\beta(\rho - 1)},-\sqrt{\beta( \rho - 1)}, \rho - 1\right)$ et : $\left( \sqrt{\beta( \rho - 1)},\sqrt{\beta( \rho - 1)}, \rho - 1 \right)$, qui n'existent que lorsque ρ > 1.

Attracteur de Lorenz

Attracteur étrange de Lorenz

Il est défini comme l'ensemble des trajectoires à long terme du système dynamique de Lorenz ci-dessus.

En effet lorsque les paramètres σ,ρ et β prennent les valeurs suivantes :σ = 10, ρ = 28 et β = 8 / 3, le système dynamique différentiel de Lorenz présente un attracteur étrange en forme d'ailes de papillon, représenté sur la figure ci-contre.

Pour presque toutes les conditions initiales (différentes de celles des points fixes), l'orbite du système s'approche rapidement de l'attracteur, la trajectoire commençant par s'enrouler sur une aile, puis sautant d'une aile à l'autre pour commencer à s'enrouler sur l'autre aile, et ainsi de suite, de façon apparemment erratique.

L'existence d'un attracteur étrange pour certaines valeurs des paramètres a été conjecturée par Edward Lorenz dès 1963 sur la base de simulations numériques. Il a cependant fallu attendre 2001 pour avoir une démonstration rigoureuse de ce fait par Warwick Tucker^[3].

L'attracteur, dans ces cas, est une fractale de dimension de Hausdorff comprise entre 2 et 3^[4].

• 

  ρ=28, σ = 10, β = 8/3

• 
• 
• 

  ρ=28

• 

  ρ=15

Variantes

Afin d'étudier mathématiquement l'attracteur de Lorenz des modèles rigoureux mais distincts de celui-ci sont apparus dans la littérature scientifique^[5]. Leur intérêt principal étant qu'ils étaient plus faciles à étudier et surtout on était sûr de leur existence (néanmoins on ignorait si l'attracteur de Lorenz était correctement décrit par ces modèles, voir plus haut).

Notes et références

1. ↑ http://www.bourbaphy.fr/ghys.pdf
2. ↑ Tels que définis dans l'article de Lorenz, 1963, p.135
3. ↑ cf. bibliographie
4. ↑ Grassberger (1983) a estimé sa valeur à 2.06 ± 0.01 et sa dimension de corrélation à 2.05 ± 0.01
5. ↑ Appelés modèles géométriques de Lorenz, cf. bibliographie, articles d'Afraimovich, Bykov, et Shil’nikov de Guckenheimer et de Williams.

Voir aussi

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• Attracteur de Rössler
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• Théorie du chaos
• Météorologie

Liens externes

http://www.bourbaphy.fr/ghys.pdf

Bibliographie

• (en) Edward N. Lorenz, « Deterministic Nonperiodic Flow », dans J. Atmos. Sci., vol. 20, 1963, p. 130-141 [texte intégral, lien DOI (pages consultées le 4 octobre 2010)] 

• (ru) V. S. Afraimovich, V. V. Bykov et L. P. Shil’nikov, « The origin and structure of the Lorenz attractor », dans Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 234, 1977 .

• (en) J. Guckenheimer et R. F. Williams, « Structural stability of Lorenz attractors », dans Inst. Hautes études Sci. Publ. Math., vol. 50, 1979, p. 59–72 .

• (en) W. Tucker, « A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem », dans Found. Comp. Math., vol. 2, 2002, p. 53–117 [texte intégral] .

• (en) R. F. Williams, « The structure of Lorenz attractors », dans Inst. Hautes études Sci. Publ. Math., vol. 50, 1979, p. 73–99 .