Sous-espace vectoriel engendre

Sous-espace vectoriel engendré

Étant donnés un espace vectoriel sur un corps commutatif $\mathbb{K}$, des vecteurs $v_1, \ldots, v_n$ de E, le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs est l'ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs. C'est un sous-espace vectoriel de E appelé sous-espace vectoriel engendré par le système de vecteurs $\{v_1,\ldots, v_n\}$, c'est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant $\{v_1,\ldots, v_n\}$.

Définitions

Sous espace vectoriel engendré par une famille finie de E

Étant donnés un espace vectoriel sur un corps commutatif $\mathbb{K}$, un entier naturel non nul n, et une famille de n vecteurs $v_1, \ldots, v_n$ de E, le sous-espace vectoriel engendré par la famille, noté ${\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n)$, est l'ensemble :

${\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n) = \left\{\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_n v_n | \lambda_1,\ldots, \lambda_n\in \mathbb{K}\right\}$

C'est un sous-espace vectoriel F de E appelé sous-espace vectoriel engendré par la famille $(v_1,\ldots, v_n)$. On dit que la famille $(v_1, \ldots, v_n)$ est une famille génératrice ou qu'elle « engendre » F.

On peut dire aussi que l'ensemble $\{v_1, v_2,\ldots, v_n\}$ est un système générateur de F ou un système de générateurs de F.

Sous espace vectoriel engendré par une partie de E

La notion se généralise à une famille quelconque $(v_i)_{i\in I}$ de vecteurs de E. Le sous-espace vectoriel engendré par la famille est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires finies de vecteurs de la famille, noté ${\rm Vect}\left((v_i)_{i\in I}\right)$, est :

${\rm Vect}\left((v_i)_{i\in I}\right) = \left\{ \lambda_{i_1} v_{i_1} + \cdots + \lambda_{i_k} v_{i_k} | k \in \mathbb{N}, i_1, \ldots, i_k \in I, \lambda_{i_1} ,\ldots, \lambda_{i_k} \in \mathbb{K} \right\}$

où $\mathbb{N}$ est l'ensemble des entiers naturels.

Une famille quelconque de vecteurs de E peut-être considérée comme un sous-ensemble A de l'espace vectoriel E. Le sous-espace vectoriel engendré par A est donc l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires (finies) d'éléments de A. Il est noté Vect(A) ou parfois < A >  :

$\mathrm{Vect}(A) = \left\{ \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_k v_k | k \in \mathbb{N}, \lambda_1 ,\ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}, v_1 ,\ldots, v_k \in A \right\}$

Remarquez que le nombre de vecteurs intervenant dans la combinaison linéaire peut varier, de zéro à un certain entier, mais pas jusqu'à l'infini. La partie A est appelée partie génératrice de Vect(A).

Remarques

L'ensemble engendrant un sous-espace vectoriel n'est pas nécessairement une partie basique (c'est-à-dire une base) de F de même que les vecteurs de l'ensemble n'ont pas besoin d'être linéairement indépendants. D'autre part, un ensemble minimal engendrant le sous-espace vectoriel F est une base de F. Autrement dit un ensemble engendrant un espace vectoriel F est une base de celui-ci si et seulement si tout vecteur de F peut être écrit de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de l'ensemble.

Exemples

• L'espace vectoriel réel $\mathbb{R}^3$ admet {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} comme ensemble générateur, qui est aussi une base. Un autre ensemble générateur est {(1,2,3),(0,1,2),( − 1,1 / 2,3),(1,1,1)} mais celui-ci n'est pas une base de $\mathbb{R}^3$ parce que les vecteurs sont linéairement dépendants. L'ensemble {(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)} n'engendre pas $\mathbb{R}^3$; au lieu de cela il engendre le sous-espace vectoriel constitué de tous les vecteurs de $\mathbb{R}^3$ dont la dernière composante est nulle.
• Dans l'espace vectoriel usuel, $\mathbb{R}^3$, considérons les vecteurs u₁ = (1,0,0) et u₂ = (1,1,0). On a

${\rm Vect}(u_1, u_2)=\{(\lambda+\mu,\mu,0)/(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2\}=\{(x,y,0)/(x,y)\in\mathbb{R}^2\}$

• Soit $P=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3/x+y-z=0\}$. On a

$P=\{x(1,0,1)+y(0,1,1)/(x,y)\in\mathbb{R}^2\}={\rm Vect}((1,0,1),(0,1,1))$.

Théorèmes

Théorème 1: ${\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ est un sous-espace vectoriel de E. De plus, cet espace vectoriel est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs $v_1, \ldots, v_n$.

Ce résultat (qui est démontré un peu plus loin dans cette section) est une des raisons pour lesquelles la notion de sous-espace vectoriel engendré est importante.

Théorème 2: Vect(A) est aussi un sous-espace vectoriel de E. De plus, cet espace vectoriel est le plus petit sous espace-vectoriel de E, contenant A.

Nous n'allons démontrer que le théorème 1. La démonstration du théorème 2 est très similaire, mais un peu plus malaisée à rédiger, puisque les vecteurs de toute combinaison linéaire donnée peuvent être différents.

Démonstration du théorème 1:

Stabilité pour la somme:

Les formes les plus générales possibles pour deux éléments de ${\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ sont $x=a_1.v_1+\cdots+a_n.v_n$ et $y=b_1.v_1+\ldots+b_n.v_n$.

Nous avons à montrer que x + y est aussi une combinaison linéaire de ces vecteurs. En utilisant l'associativité et la commutativité de l'addition ainsi que la distributivité, nous pouvons écrire:

$x + y = ( a_1 + b_1 ) v_1 + \cdots + ( a_n + b_n ) v_n \,$

et puisque pour tout i, a_i + b_i est un scalaire de K, nous voyons que x + y est effectivement une combinaison linéaire des vecteurs donnés.

Stabilité pour la multiplication par un scalaire:

Soit c un scalaire et à nouveau considérons une combinaison linéaire de la forme: $x=a_1.v_1+\ldots+a_n.v_n$.

Nous avons à montrer que c.x est aussi une combinaison linéaire de ces vecteurs.

Nous avons

$c x = ( c a_1 ) v_1 + \cdots + ( c a_n ) v_n \,$

et puisque pour tout i, c.a_i est aussi un scalaire le résultat est acquis.

${\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ est non vide.

Le vecteur nul de E, 0_E est une combinaison linéaire de $v_1, \ldots, v_n$ puisque nous pouvons écrire:

$0_E=0_Kv_1+0_Kv_2+\cdots+0_Kv_n\,$

(Ici, 0_K est l'élément neutre additif du corps K.)

Cette dernière relation est bien vraie, parce que dans tout espace vectoriel nous avons $\forall v\in E,\quad 0_K.v=0_E$.

Minimalité:

Supposons que F soit un autre sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs $v_1, \ldots, v_n$.

Alors F est stable pour la multiplication et l'addition des vecteurs, ainsi nous pouvons démontrer par une récurrence finie sur le nombre de vecteurs que pour tous scalaires $a_1, \ldots, a_n$, $a_1.v_1+\cdots+a_n.v_n$ est un élément de F. Ainsi, ${\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n)$, l'ensemble de telles combinaisons linéaires est une sous-ensemble de F.

Propriétés

• Soient $v_1, \ldots, v_n$ n vecteurs d'un espace vectoriel E. Nous avons

$\textrm{Vect}(v_1, \ldots, v_{n-1}) = \textrm{Vect} (v_1, \ldots, v_n) \Longleftrightarrow v_n \in \textrm{Vect}(v_1, \ldots, v_{n-1})$

• La dimension d'un espace vectoriel engendré par une famille de n vecteurs est égale à n si et seulement si la famille est libre.
• Pour toutes parties A et A' de E,
  • $A\subset A'\Rightarrow {\rm Vect}(A)\subset {\rm Vect}(A')$
  • ${\rm Vect}(A\cup A')={\rm Vect}(A)+{\rm Vect}(A')$.

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