Sous-groupe a un parametre

Sous-groupe à un paramètre

Un sous-groupe à un paramètre d'un groupe de Lie réel G est un morphisme de groupes de Lie c:R$\rightarrow$G. Plus explicitement, c est une application différentiable vérifiant :

$\forall s,t\in R, c(t+s)=c(t).c(s)$.

En dérivant cette relation par rapport à la variable s et en évaluant en s = 0, il vient :

$\forall t\in R, c'(t)=T_eL_{c(t)}\left[c'(0)\right]$

où L_c(t) designe la multiplication à gauche par c(t). Un sous-groupe à un paramètre s'obtient comme orbite de l'élément neutre par un champ de vecteurs invariant à gauche de G. Un tel champ X est déterminé par sa valeur X(e) en l'élément neutre e. Il y a donc correspondance univoque entre sous-groupe à un paramètre et l'espace tangent g de G en e :

• A tout sous-groupe à un paramètre c de G est associé le vecteur c'(0) de g.
• A tout vecteur v de g est associé le sous-groupe à un paramètre c:R$\rightarrow$G défini par l'équation différentielle c '(t) = T_eL_c(t)[v] et la condition initiale c '(0) = v.

Les sous-groupes à un paramètre interviennent naturellement dans la définition de l'application exponentielle du groupe de Lie G :

• L'application exponentielle est l'application exp:g$\rightarrow$G définie par exp(v)=c(1) où c est le sous-groupe à un paramètre de G associé à X.
• Tout sous-groupe à un paramètre c s'ecrit de maniere unique c(t)=exp(t.v) ou v = c '(0).

Exemples

Groupe de Lie commutatif

Tout espace vectoriel reel E de dimension finie est un groupe de Lie, la loi interne etant l'addition vectorielle. L'espace tangent en 0 de E s'identifie naturellement avec E en tant qu'espace vectoriel réel. Les sous-groupes à un paramètre de E sont simplement les applications t$\rightarrow$t.v où v parcourt E : ce sont les droites vectorielles paramétrées de E.

La classification des groupes de Lie commutatifs est connu et élémentaire. Tout groupe de Lie commutatif G se réalise comme quotient d'un espace vectoriel E par un sous-groupe discret, un sous-réseau de E. Les sous-groupes à un paramètre de G s'obtiennent donc par passage au quotient des droites paramétrées de E.

Un exemple important est le tore Rⁿ/Zⁿ. Les sous-groupes à un paramètre sont les applications c_v:R$\rightarrow$ t.v mod Zⁿ où v parcourt Rⁿ. Apparaissent différents comportements :

• Si v est proportionnel à un élément du réseau Zⁿ, c_v est une application périodique, une immersion de la droite réelle, et un difféomorphisme local de R sur un cercle de Rⁿ/Zⁿ.
• Sinon, c est une immersion de la droite réelle, mais l'image n'est pas une variété. En dimension n = 2, l'image est dense dans le tore. En dimension supérieure, l'adhérence de l'image est une sous-variété difféomorphe a un tore, et toutes les dimensions intermédiaires allant de 2 a n sont réalisables.

Groupe des rotations

Pour tout vecteur non nul v de R³, l'application R associant à t la rotation d'axe orienté R.v et d'angle t est un sous-groupe à un paramètre du groupe SO(3) des rotations de l'espace euclidien.

Ce sont exactement tous les sous-groupes à un paramètre de SO(3). Il est remarquable de noter qu'ils sont tous des applications périodiques.

Pour rappel, il est courant de paramétrer le groupe SO(3) par les quaternions unitaires.

Les sous-groupes a un parametre de S³ ont pour images les traces des plans vectoriels reel de H contenant 1. Ce sont des difféomorphismes locaux de R sur des grands cercles de S³.

Groupe à un paramètre de difféomorphismes

La définition se généralise sans difficulté aux groupes de Lie de dimension infinie. L'exemple standard est le groupe des difféomorphismes d'une variété différentielle M de dimension n. Il est loisible d'introduire la notion de groupes à un paramètre de difféomorphismes, par exemple.

Un groupe à un paramètre de difféomorphismes est une application différentiable f:RxM$\rightarrow$ M telle que les sections f_t soient des difféomorphismes de la variéte M, vérifiant :

$\forall t,s\in R, f_{t+s}=f_t\circ f_s$.

Un groupe a un parametre de diffeomorphismes de M est tout simplement une action differentiable de R sur M !

Cette notion est à rapprocher de champ de vecteurs :

• A tout groupe a un parametre de diffeomorphisme f de M est associé un unique champ de vecteurs X sur M donné par :

  $\forall t\in R, \frac{d}{dt} f_t(x)=X\left[f_t(x)\right]$.

• Reciproquement, si M est compact, à tout champ de vecteurs X sur M est associe un unique groupe a un parametre de diffeomorphismes f déterminé par la relation ci-dessus, et appelé flot du champ X.

Le champ est alors dit global.

Si M possède plus de structures (variété riemannienne, variete symplectique ou variete de contact par exemple), on peut vouloir que les sections f^t préservent cette structure. Dans ce cas, on remplace le terme difféomorphisme par un vocabulaire adapté.

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