Sous-groupe caracteristique

Sous-groupe caractéristique

Étant donné un groupe G, on appelle « sous-groupe caractéristique de G » tout sous-groupe H de G stable par tout automorphisme de G :

$\forall\sigma\in Aut(G), \sigma(H)\subset H$.

Propriété

• Un sous-groupe H caractéristique dans G est en particulier stable par tout automorphisme intérieur de G : c'est donc un sous-groupe distingué de G.

Exemples

• Le sous-groupe dérivé D(G) d'un groupe G est un sous-groupe caractéristique de G.

En effet, pour tout automorphisme σ de G et pour tous $x,y\in G$, on a σ([x,y]) = [σ(x),σ(y)].

• Le centre est lui aussi un groupe caractéristique.
• Généralement un sous-groupe défini par une expression qui ne mentionne aucun élément particulier (autre que l'élément neutre) est caractéristique, car le sens d'une telle expression ne change pas sous un automorphisme quelconque. Ainsi sont distingués:
  • Le groupe dérivé, qui est engendré par $\{\, xyx^{-1}y^{-1}\mid x,y\in G\,\}$,
  • Le centre, qui est défini par la l'expression $\{\, x\in G \mid \forall y \in G : xy = yx\,\}$,
  • Le sous-groupe engendré par les éléments d'ordre deux (ou d'un autre ordre donné),
  • Le sous-groupe engendré par $\{\, x^2 \mid x\in G\,\}$, etc.

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