Sous-suite

En mathématiques, une sous-suite (ou une suite extraite) est une suite obtenue en ne prenant que certains éléments (une infinité) d'une suite de départ. Cette opération est parfois appelée extraction.

Formellement, une suite est une application définie sur l'ensemble $\N$ des entiers naturels. On la note classiquement $(u_n)_{n\in \N}$. Une sous-suite ou suite extraite est la composée de u par une application strictement croissante $\varphi:\N\rightarrow \N$ ^[1].

Elle s'écrit donc sous la forme $(u_{\varphi (n)})_{n\in \N}$. Dans ce contexte, l'application φ est appelée extractrice^[1].

Propriétés

• Soit $(u_n)_{n\in \N}$ une suite d'éléments d'un espace topologique X qui converge vers l, alors toute suite extraite de $(u_n)_{n\in \N}$ converge vers l.
• Les limites des sous-suites d'une suite $(u_n)_{n\in \N}$ d'un espace topologique X sont des valeurs d'adhérence de la suite $(u_n)_{n\in \N}$. Si X est métrisable, ou plus généralement à base de voisinages dénombrable, la réciproque est vraie: toute valeur d'adhérence d'une suite est limite d'une de ses sous-suites.
• De toute suite bornée de réels, on peut extraire une sous-suite convergente (voir l'article sur le Théorème de Bolzano-Weierstrass pour plus de détails).

Note et référence

1. ↑ ^{a et b} Jean-Marie Monier, Analyse MPSI, Paris, Dunod, 2006, 5^e éd. (ISBN 978-2-10-049837-6) 

Articles connexes

• Composition de fonctions
• Suite
• Valeur d'adhérence