Statistiques elementaires continues

Statistiques élémentaires continues

Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires

Algèbre

Logique

Arithmétique

Probabilités

Statistiques

Dans une enquête statistique, lorsque le caractère statistique peut prendre des valeurs multiples (taille, superficie, salaire…) le caractère statistique est considéré comme continu.

Traitement des données

Lorsque les résultats de l'enquête statistique sont trop nombreux pour que la liste triée des valeurs soit lisible, on préfère perdre de l'information et ranger les données par intervalles appelés classes. Il faut alors que, dans chaque classe, la répartition des valeurs soit régulière. Sinon, il faut affiner et prendre des classes plus petites. Il n'est pas indispensable que les classes soient de même amplitude, mais il est préférable de ne pas définir de classes de la forme « plus de ... » qui empêcherait alors tout traitement ultérieur (histogramme, moyenne...). On compte alors le nombre de fois où la valeur du caractère tombe dans l'intervalle [x_i;x_{i + 1}[, ce nombre est appelé effectif de la classe [x_i;x_{i + 1}[.

Exemple de tableau statistique à classes : Répartition des revenus annuels en milliers d'euros dans une population de 4370 personnes.

Salaires	entre 0 (inclus) et 8 (exclus)	entre 8 (inclus) et 12 (exclus)	entre 12 (inclus) et 16 (exclus)	entre 16 (inclus) et 20 (exclus)	entre 20 (inclus) et 30 (exclus)	entre 30 (inclus) et 40 (exclus)	entre 40 (inclus) et 60 (exclus)	Total
Effectifs	306	231	385	1180	1468	568	232	4370

Les effectifs ici sont trop grands pour que l'on puisse se faire une idée simple de la répartition, on préfère alors travailler en pourcentages ou fréquences et se ramener ainsi à une population de 100 pour les pourcentages ou de 1 pour les fréquences.

Salaires	entre 0 (inclus) et 8 (exclus)	entre 8 (inclus) et 12 (exclus)	entre 12 (inclus) et 16 (exclus)	entre 16 (inclus) et 20 (exclus)	entre 20 (inclus) et 30 (exclus)	entre 30 (inclus) et 40 (exclus)	entre 40 (inclus) et 60 (exclus)	Total
Fréquences	0,07	0,05	0,09	0,27	0,34	0,13	0,05	1

Moyenne

Puisque l’on a estimé que la répartition dans chaque classe était régulière, on peut affirmer que le milieu de la classe est représentatif de la classe. On va donc remplacer les n_i individus de la classe [x_i;x_{i + 1}[ par n_i individus dont le caractère statistique prendrait la valeur $m_i = \frac{x_i+x_{i+1}}{2}$. Puis on calcule la moyenne comme dans le cadre de la variable discrète :

Salaires	entre 0 (inclus) et 8 (exclus)	entre 8 (inclus) et 12 (exclus)	entre 12 (inclus) et 16 (exclus)	entre 16 (inclus) et 20 (exclus)	entre 20 (inclus) et 30 (exclus)	entre 30 (inclus) et 40 (exclus)	entre 40 (inclus) et 60 (exclus)	Total
Effectifs	306	231	385	1180	1468	568	232	4370
Salaire moyen de chaque classe	4	10	14	18	25	35	50	total des salaires
Total des salaires de chaque classe	1224	2310	5390	21240	36700	19880	11600	98344

Le salaire moyen parmi cet échantillon est donc de 98344/4370 = 22,5 soit environ 22500 Euros annuels.

La formule utilisée ici est : $\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^N n_im_i}{\sum_{i=1}^N n_i}$

La moyenne est un des critères de position.

Représentations graphiques

Histogramme

• Voir article détaillé : Histogramme

Pour représenter graphiquement cette enquête statistique, le diagramme en bâtons est inapproprié. En effet, plus la classe est grande, plus l'effectif risque d'être important. Il faut donc représenter l'effectif de chaque classe par un rectangle dont la base est l'amplitude de la classe et dont l'aire est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence. Ce diagramme s'appelle un histogramme.

Exemple: si 1% est représenté par 1 carreau unité.

Salaires	entre 0 (inclus) et 8 (exclus)	entre 8 (inclus) et 12 (exclus)	entre 12 (inclus) et 16 (exclus)	entre 16 (inclus) et 20 (exclus)	entre 20 (inclus) et 30 (exclus)	entre 30 (inclus) et 40 (exclus)	entre 40 (inclus) et 60 (exclus)
Fréquences	0,07	0,05	0,09	0,27	0,34	0,13	0,05
Amplitudes ai = xi + 1 − xi	8	4	4	4	10	10	20
Hauteurs hi = fi / ai	0,9	1,3	2,2	6,8	3,4	1,3	0,3

Il ne reste plus qu'à tracer l'histogramme:

Remarque : si les amplitudes des classes sont identiques, les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux effectifs ou aux fréquences.

Polygone des fréquences cumulées

Puisque la répartition dans chaque classe est supposée régulière, on peut admettre que l'accroissement des pourcentages est une fonction linéaire. On trace alors le polygone des pourcentages cumulés croissants qui permet de lire le pourcentage de la classe [x₁;x] pour tout x.

Au préalable, il faut remplir le tableau des pourcentages cumulés:

xi	0	8	12	16	20	30	40	60
Pourcentages cumulés croissants	0	7	12,3	21,1	48,1	81,7	94,7	100

Il ne reste plus qu'à tracer le polygone:

On peut construire de même le polygone des pourcentages cumulés décroissants.

Variance et écart type

Les formules précédemment établies pour les variables discrètes restent valables à condition de remplacer x_i par m_i milieu de la classe [x_i;x_{i + 1}[:

• $V = \sum_{i=1}^Nf_i(m_i-\overline{x})^2$ où f_i est la fréquence, m_i le milieu de la classe et $\overline{x}$ la moyenne.
• $\sigma = \sqrt{V}$

L'écart type est un des critères de dispersion

Voir aussi

• Statistiques
  • Statistique descriptive

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