Auto Nombre

Auto nombre

En arithmétique, un auto nombre ou nombre colombien est un entier naturel qui, dans une base donnée, ne peut pas s'écrire sous la forme d'un nombre ajouté à la somme des chiffres de ce nombre.

Exemples

21 n'est pas un auto nombre, puisqu'il peut être généré par la somme de 15 et de ses chiffres, c’est-à-dire, 21 = 15 + 1 + 5.

20 est un auto nombre car il n'existe pas une telle somme pour 20.

Digitaddition

La notion d'auto nombre est introduite en 1949 par le mathématicien indien Dattatreya Ramachandra Kaprekar lorsqu'il s'intéresse à une transformation sur les nombres qu'il appelle une digitaddition : ajouter au nombre la somme de ses chiffres.

Par exemple S(21) = 21 + 1 + 2 = 24.

On dit que 24 est généré par 21. Certains nombres peuvent être générés par plusieurs nombres. C'est le cas, par exemple, de 509, généré par 502 et 493. D'autres nombres n'ont pas de générateur, Kaprekar les appelle des auto nombres.

Le fait d'être un auto nombre ou non est lié à la base dans laquelle le nombre est écrit. Par exemple, le nombre 11, écrit en base 10, est un nombre généré par 10 alors qu'écrit en base 5 ($\overline{21}^5$), il est un auto nombre.

Auto nombres en base 10

On démontre aisément que les seuls auto nombres inférieurs à 100 dans cette base sont les entiers impairs inférieurs à 10 et les entiers congrus à 9 modulo 11. Tous les autres nombres inférieurs à 100 n'ont qu'un seul générateur.

La relation de récurrence suivante permet de construire une infinité d'auto nombres en base 10 (mais pas tous les auto nombres de la base 10) et prouve ainsi qu'il existe une infinité d'auto nombres en base 10.

$C_1 = 9\,$

$C_k = 8 \cdot 10^{k - 1} + C_{k - 1} + 8$

Liste des premiers auto nombres en base 10 :

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424, ...

Auto nombres en base 2

La relation de récurrence suivante permet de construire une infinité d'auto nombes en base 2 (mais pas tous les auto nombres de la base 2) et prouve ainsi qu'il existe une infinité d'auto nombres en base 2.

Partant du nombre 1, ajouter le chiffre 1 à gauche dans l'écriture du nombre puis ajouter 1 au nombre obtenu. On obtient successivement 1, 11 + 1 = 110, 1110+1 =1111, 11111+1 = 100000.

Liste des premiers auto nombres en base 2 :

1, 100, 110, 1101, 1111, 10010, 10101, 10111, 11110

En 1982, U. Zannier prouve que la densité des auto-nombres en base 2, c’est-à-dire la limite, quand N tend vers l'infini, du nombre d'auto nombres inférieurs à N divisé par N, est un réel λ défini par

$\lambda = \frac 18 \left(\sum_{n \in E}\frac 1{2^n}\right)^2 \approx 0,25266026$

Il prouve aussi que cette densité est un nombre transcendant.

Auto nombres de base quelconque

Auto nombres en base b impaire

En 1973, Joshi prouve que n est un auto nombre en base b impaire si et seulement si n est impair. Il est facile de montrer que si n est impair alors n est un auto nombre mais la réciproque est plus délicate.

Auto nombres en base b paire

De manière générale, en base b différente de 2, la relation de récurrence suivante permet de construire une infinité d'auto nombres en base b

$C_1 = b - 1\,$

$C_k = (b - 2)b^{k - 1} + C_{k - 1} + (b - 2)\,$

En 1991, Patel prouve qu'en base b paire supérieure ou égale à 4, les entiers 2b, 4b + 2 et (b + 1)² sont toujours des auto nombres.

Références

• (en) Auto nombres dans Mathworld
• (en) Self–Numbers Density Constant
• U. Zannier, On the distribution of self-numbers, Proc. Amer. Math. Soc. 85 (1982) 10-14

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